1.3.3 等比数列的前n项和-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1.3 1.3 等比数列 2 1.3 课时1 等比数列的前项和（1） 刷基础 3 1.[黑龙江哈尔滨三中2023高二月考] 已知正项等比数列中，，其前项和为 ，且 ，则 ( ) C A.31 B.32 C.63 D.64 题型1 等比数列前项和公式的理解 4 解析 设正项等比数列的公比为，由题意可得，即 ，解得 或 （舍去），则 .故选C. 题型1 等比数列前项和公式的理解 5 2.已知数列的前项和是不为零的常数，则数列 ( ) C A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或是等差数列，或是等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列 题型1 等比数列前项和公式的理解 6 解析 由知，当时，，此时数列为等差数列.当 时， ,,, 时也符 合上式，故数列是首项为,公比为 的等比数列.故选C. 题型1 等比数列前项和公式的理解 7 3.[河南新乡2024高二期末] 已知等比数列的前项和为.若 ，则 ( ) D A.3 B.1 C. D. 题型1 等比数列前项和公式的理解 8 解析 设的公比为.因为 ，所以.当 时， ，所以的系数和常数项互为相反数，所以，所以 . 故选D. 题型1 等比数列前项和公式的理解 9 4.数列1，，,,, 的前项和 _____________. 题型1 等比数列前项和公式的理解 10 解析 由题意可得， ， . 题型1 等比数列前项和公式的理解 11 5.[安徽滁州2024高二期末联考] 已知等比数列满足，，则数列 的前7项和为( ) D A.256 B.255 C.128 D.127 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 12 解析 设等比数列的公比为，因为，，可得 解得 ，，所以数列的前7项和 .故选D. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 13 6.[湖北武汉华师大一附中2023高二期末] 设正项等比数列的前项和为.若 ， 则数列 的公比是( ) A A.2 B.或2 C. D.或 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 14 解析 设等比数列的公比为.因为，所以 ，所以 ，所以.又因为，所以，解得 或 （舍），故选A. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 15 【归纳总结】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列 中有五个量 ，，，， ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 16 7.（多选）[四川宜宾2024高二期末联考] 设是公比为正数的等比数列的前 项和.若 ， ，则( ) ACD A. B. C.为常数 D. 为等比数列 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 17 解析 设的公比为，则，解得，故 ，则 ，.对于A，，故A正确；对于B， ，故B错误； 对于C，为常数，故C正确；对于D，由 ， ,，可得为等比数列，故D正确.故选 . 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 18 8.已知等比数列的前项和为，若，，则 ___. 3 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 19 解析 由数列为等比数列，设其公比为，又 ，则 ，解得 ，所以 ，则，所以 ， ，所以，，所以 . 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 20 9. [甘肃兰州西北师大附中2024高二期末] 设是等比数列的前项和，若 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 21 解析 设等比数列的公比为，若，则 ，与题干矛盾. 所以，故，则 ， 所以 ， ， 因此 .故选B. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 22 【链接教材】本题是教材第34页练习第2题的变式，在等比数列的通项公式与前项和公式 中,共涉及五个相关量:,,,,，利用等比数列的通项公式及前 项和公式即可“知三求二”. 同时还要注意整体思想，有时可把 看作一个整体代换求解. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 23 10.在等比数列中，公比，前87项和，则 ( ) C A. B.60 C.80 D.160 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 24 解析 为公比的等比数列， 可设 ， ，， ，解 得， .故选C. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 25 11.已知是等比数列，，，则 ( ) C A. B. C. D. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 26 解析 设数列的公比为 . 由，，得，，则 ，所以 ，所以.所以 ， ,,所以数列是一个首项为,公比为 的等比数列.所以 .故选C. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 27 12.已知在公比为2的等比数列中， ，求该数列的前 21项和 . 【解】设等比数列的公比，设其前项和为.由题知，，，，， ， 仍为等比数列，其首项为，公比为，故，解得 . 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 28 1.3 课时2 等比数列的前项和（2） 刷基础 29 1.[重庆一中2024高二期中] 等比数列共有项，其中 ，偶数项和为84，奇数项和 为170，则 ( ) A A.3 B.4 C.7 D.9 题型1 等比数列前项和的性质 30 解析 等比数列共有项， 等比数列中偶数项有项，奇数项有 项.由题意得 ， 偶数项和为,，奇数项和为 , ，两式相减得,解得,,即,解得 .故 选A. 题型1 等比数列前项和的性质 31 2.已知等比数列的前项和满足，，则 ( ) D A.130 B.160 C.390 D.400 题型1 等比数列前项和的性质 32 解析 因为等比数列的前项和满足，，所以,,, 依 然成等比数列，则，即，解得 ，则 ，即，解得 ，故选D. 题型1 等比数列前项和的性质 33 【多种解法】对等比数列的前项和,有， ，即 ， . ，故选D. 题型1 等比数列前项和的性质 34 3.已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 ___. 2 题型1 等比数列前项和的性质 35 解析 设等比数列的前项中奇数项的和、偶数项的和分别为， .由题意得 ，， . 题型1 等比数列前项和的性质 36 【二级结论】公比为的等比数列的前项和 的性质 （1），，仍构成等比数列（注意： . （2） . （3）若的项数为偶数，则；若的项数为奇数，则 . 题型1 等比数列前项和的性质 37 4.（多选）[河北邢台重点高中2024高二期末] 已知数列的前项和为, , ，则( ) ACD A. B. 为等比数列 C. D. 题型2 错位相减法求和 38 解析 选项A，由题意得 ，A正确； 选项B，将两边同时除以 ， 得，即，则是首项为，公差为 的等差数列，不是等比数 列，B错误； 选项C，由，得 ， 所以 ， 则 ， 得， ， 题型2 错位相减法求和 39 即，则 ，C正确； 选项D，因为 ， 所以 ，D正确. 故选 . 题型2 错位相减法求和 5.[甘肃兰州一中2024高二期末] 已知数列是等比数列，，是和 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； 【解】设数列的公比为 ， ，， ， 由是和 的等差中项得， ， 化简得 ， 解得或 （舍）， . 题型2 错位相减法求和 41 （2）设，求数列的前项和 . [答案] 由（1）得 . ， ， ， ， . 题型2 错位相减法求和 42 6.[江苏扬州2024高二期中] 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日 自倍，五日织五尺……”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5 天共织了5尺布……”.那么该女子第一天织布的尺数为( ) B A. B. C. D. 题型3 等比数列在实际问题中的应用 43 解析 设第一天织布的尺数为，则，可得 ，解得 .故选B. 题型3 等比数列在实际问题中的应用 44 7.[安徽合肥2023高二期中] 某公司为庆祝公司成立九周年，特意制作了两个热气球，在气球上写 着“九年耕耘，硕果累累”8个字.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度 都是前一分钟的 ，则该气球上升到70米高度至少要经过( ) B A.3分钟 B.4分钟 C.5分钟 D.6分钟 题型3 等比数列在实际问题中的应用 45 解析 设表示热气球在第分钟内上升的高度，由题意可得, . 所以前分钟热气球上升的总高度 ，因为 ，所以数列 为单调递增数列，又 ， ，所以该气球至少要经过4分钟才 能上升到70米高度，故选B. 题型3 等比数列在实际问题中的应用 46 8.设，，则 _ _____________. 易错点1 错认项数求和而致错 47 解析 当时， ； 当时， ； 当且时，,当 时，也满足此式.综上， 易错点1 错认项数求和而致错 48 9.设，则 ____________. 解析 数列2，， ，是首项为2，公比为，项数为 的等比数列， . 易错点1 错认项数求和而致错 49 【易错警示】以上两题均容易错误地认为项数为 .数列的项数需通过计算得出，不能盲目地认为 数列的项数都为 ，从而造成错解. 易错点1 错认项数求和而致错 50 10.在等比数列中，已知，，则公比 的值为( ) B A.1或 B.1或 C.1 D. 易错点2 利用等比数列求和公式时忽视的情形而致错 51 解析 在等比数列中，，.当时，满足题意;当 时， 解得综上，或 .故选B. 易错点2 利用等比数列求和公式时忽视的情形而致错 52 【易错警示】在等比数列的求和公式中，当公比时， ，因此涉及等比数列求和时 要注意对分类讨论，本题求解的易错之处是忽视对 的讨论而丢解. 易错点2 利用等比数列求和公式时忽视的情形而致错 53 1.3 课时2 等比数列的前项和（2） 刷提升 54 1.[北京一零一中学2023高二期中] 已知等比数列的公比为，前项和为.若， ， 则 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 55 解析 由，解得 .故选B. 56 2.已知数列满足，，则数列的前项和 ( ) C A. B. C. D. 57 解析 因为 ， 所以，则，所以数列是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ，故选C. 58 3.设等比数列的前项和为10，前项和为60，则该数列的前 项和为( ) C A.360 B.720 C.1 560 D.1 800 59 解析 设等比数列的前项和为，公比为，则，，，， 成 等比数列，公比为 . 又，，所以，所以，所以 ，所以 ，所以 .故选C. 60 4.（多选）[甘肃兰州2023高二期末] 若是公比为的等比数列，为的前 项和， 则下列说法不正确的是( ) ABC A.若是递增数列，则， B.若是递减数列，则， C.若，则 D.若，则 是等比数列 61 解析 对于A，若是递增数列，可得，或， ，故A错误； 对于B，若是递减数列，则，或， ，故B错误； 对于C，当时，，，所以 ，故C错误； 对于D，若，则为常数，所以数列 是等比数列，故D正确. 62 5.已知等比数列满足，则 ( ) C A.8 B. C. D.16 63 解析 设等比数列的公比为，由 ，解得 ，.所以 .故选C. 64 6.[山东淄博2023高二期中] 中国古代某数学名著中有一个这样的类似问题：“四百四十一里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意 思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天 的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是( ) A A.7里 B.8里 C.9里 D.10里 65 解析 设第六天走的路程为，第五天走的路程为， ，第一天走的路程为 ，根据题意每天 走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以 ，解 得 ，故选A. 66 7.已知数列是递增的等比数列，,.若的前项和为 ，且 ，则正整数 等于( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 67 解析 联立可得或 又因为数列是递增的等比数列，所以则公比, ， ,所以 ，所以 .故选B. 68 8.[河南平顶山2023高二期末] 已知数列满足且，则数列 的前5 项和为( ) B A. B. C.91 D.151 69 解析 数列满足，且， 数列是首项为 ，公比为3的等比数列， ， 数列的前5项和为 .故选B. 70 9.[北京人大附中2023高二期中] 小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在 一个半径为 的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复 以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形 及其内切圆之间的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪 纸，则该图案（阴影部分）的面积为( ) C A. B. C. D. 71 解析 将6个圆从外到内依次记为,，将6个正方形从外到内依次记为 ， ，记6次形成的阴影部分从外到内的面积依次为 ，其中表示 的半径. 由题意可知,, ,,,故半径成等比数列，且公比为 ， ，，所以， ，故 为等比数列，且首项为，公比为 ，所以 ，故选C. 72 10.（多选）[甘肃酒泉实验中学2024高二期中] 设等比数列的公比为，其前项和为 ，前 项积为，并满足条件，， ，则下列结论正确的是( ) AB A. B. C.是数列中的最大值 D.数列 无最大值 73 解析 因为等比数列的公比为，满足，， ， 所以,,且 . 对于A，因为且，可得，所以 ，所以A正确； 对于B，,因为,所以 ,所以B正确； 对于C,D，因为数列满足 ， 所以是数列中的最大值，所以C，D不正确.故选 . 74 11.在等比数列中，表示其前项和，若，，则公比 ___. 3 75 解析 在等比数列中，， ， ，， . 76 12.已知等比数列的公比，且 ，则 _____. 120 77 解析 因为在等比数列中，若项数为，则 ，所以 . 78 13.[甘肃酒泉四校2024高二期中联考] 已知数列中，,，若对任意 , ，则数列的前项和 ___________. 79 解析 由，且,，可知 ， 则可化为 ， 则，即 是等比数列，且公比为2，首项为 ，则 ， 所以当时， ， 当时，符合上式，所以 . 故数列的前项和为 . 80 14.[河南省实验中学2023高二期中] 设数列的前项和为，且 . （1）求 ； 【解】当时，， . 当时，由，得 ，两式相减得 ，，是以1为首项，3为公比的等比数列， . 81 （2）求数列的前项和 . [答案] 由（1）可得 ， ，① ，② 可得 ， . 82 15.[安徽合肥八中2023高二期中] 已知等差数列的首项为1，且 ，____. 是数列的前项和且；,,成等比数列；，其中 是 数列的前 项和.在这三个条件中选择一个，补充在横线上，并进行解答. （1）求数列 的通项公式； 【解】若选择①：设的公差为，因为，，所以 ，所以 ，所以 . 若选择②：因为,,成等比数列，所以.又，所以.又 ，设 的公差为，所以，解得，所以 . 若选择③：设的公差为，因为 ，所以 ，又 ，即 ，解得，所以 . 83 （2）若，求数列的前项和 . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 由题意及（1）知 . 所以，所以 . 84 【规律方法】数列求和的方法技巧 （1）倒序相加法：用于等差数列或与对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减法：用于等差数列与等比数列的积数列的求和. （3）分组求和法：用于若干个等差或等比数列的和或差的数列求和. 85 16.[甘肃定西2024高二月考] 某公司本年度的研发投入估计为100万元，由于时代的发展，该公 司也决定与时俱进.为将公司发展提升到一个新高度，该公司预计今后的研发投入每年都会比上一 年增加 . （1）求该公司 年内研发的总投入； 【解】设第年该公司研发的投入估计为万元，年内研发的总投入为 万元， 则，，所以数列是公比为 的等比数列， 所以 ， 即该公司年内研发的总投入为 万元. 86 （2）试估计大约几年后，该公司的研发总投入超过3 000万元. （参考数据：，，， ） [答案] 由（1）知，令，所以 ， 由参考数据易得，，所以 ，所以大约8年后，该公司的研发总投入超过 3 000万元. 87 17.[北京理工大学附属中学2023高二期中] 设数列的前项和为 ，且满足 . （1）求证：数列 是等比数列; 【证明】因为，所以当时，，解得 . 当时，，则 ， 所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列. 88 （2）数列满足，且 . （ⅰ）求数列 的通项公式； 【解】因为数列满足，且，所以 ，则 时，.当时，也符合上式，所以 . 89 （ⅱ）若不等式 对恒成立，求实数 的取值范围. [答案] 因为不等式 对恒成立，则 ，令 ，则，所以，所以实数 的 取值范围为 . 90 $$