1.2.3 等差数列的前n项和-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1.2 1.2 等差数列 2 1.2 课时1 等差数列的前项和（1） 刷基础 3 1.[甘肃甘南藏族自治州2024高二期中] 记为等差数列的前项和.若， ，则 ( ) B A.72 B.64 C.56 D.48 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 4 解析 设等差数列的公差为，则，解得，所以 ，所 以 .故选B. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 5 2.[江苏盐城2024高二期末] 设是等差数列的前项和，已知，，则 ( ) B A.16 B.18 C.20 D.22 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 6 解析 设等差数列的公差为 . 因为是等差数列的前项和，所以由，可得 解得 所以 ，故选B. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 7 3.记为等差数列的前项和.若，,则数列的通项公式为 ( ) B A. B. C. D. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 8 解析 设等差数列的公差为，则解得 所以 .故选B. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 9 4.[甘肃兰州一中2024高二期末] 设等差数列的前项和为，若， ， 则 ( ) B A.12 B.10 C.16 D.20 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 10 解析 设等差数列的公差为，则 ，① ，② 联立①②可得， . 因此 .故选B. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 11 5.[山东日照2023高二期中联考] 已知是等差数列，其中， . （1）求 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为 . 因为，所以，得，所以，所以 . 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 12 （2）求 的值. [答案] 因为是等差数列，所以,,, ,也是等差数列，公差为，所以,, , 是首项为，公差为 的等差数列，共有10项，则 . 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 13 6.[湖北武汉华中师大一附中2023高二期中] 已知等差数列的前项和为 ，若 ，则 ( ) B A.150 B.160 C.170 D.180 题型2 求等差数列前项和的整体思想 14 解析 因为为等差数列，所以，又 ，所以 ，所以 . 题型2 求等差数列前项和的整体思想 15 7.已知等差数列的前项和为.若 ，则一定有( ) D A. B. C. D. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 16 解析 由得,故,异号或同时为0.若, 异号，则A,B选 项均错误； 由等差数列的前项和公式得 ， ,由于不一定为0，所以 不一定为0，故C选项错误，D选 项正确.故选D. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 17 8.已知为等差数列，其前项和为，若，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 18 解析 因为为等差数列，且，所以，即 ，所以 ，所以 ，故选B. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 19 9.[安徽滁州2023高二月考] 已知在数列中，且，设为 的 前项和.若，则 ( ) B A.8 B.12 C.16 D.36 题型2 求等差数列前项和的整体思想 20 解析 在数列中，且，且， 数列是公差 的等差数列. 为的前项和，，，解得 , . 题型2 求等差数列前项和的整体思想 21 10.[福建宁德一中2024高二月考] 在等差数列中，首项，公差，为其前 项和， 则点 所在的曲线可能是( ) C A. B. C. D. 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 22 解析 由，且，，得， ， 所以点所在的曲线开口向下，且对称轴为直线，且 ，故排除A，B，D. 故选C. 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 23 11.已知等差数列的前项和为.若,，则 的值是 ( ) B A.5 B.7 C.8 D.9 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 24 解析 设等差数列的公差为 . 等差数列的前项和可看作是关于的二次函数且, 对称轴 方程为 . 又，，解得 . 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 25 12.（多选）[河南洛阳2023高二月考] 已知等差数列的前项和为，， ，则 ( ) AC A.数列单调递减 B.数列单调递增 C.有最大值 D. 有最小值 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 26 解析 因为，且，所以是关于 的递减数列，即数 列 单调递减，故A正确，B错误； ，又，，故 一定有最大值，没有最小值， 故C正确，D错误.故选 . 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 27 13.在数列中，，，其中， 为常数，则 ____. 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 28 解析 ，为等差数列，设其公差为,则， ， ,，， . 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 29 14. 已知数列的前项和为，且，，则当 取得最小值时， 的值是( ) A A.6 B.7 C.8 D.9 题型4 等差数列前项和的最值 30 解析 数列的前项和为，且，， 数列 是等差数列，公差 ，且，解得 . ， 当取得最小值时， 的值是6.故选A. 题型4 等差数列前项和的最值 31 【链接教材】本题是教材第20页例10的变式，主要考查利用二次函数的性质求等差数列前 项和 的最值.首先要求出首项与公差，再写出 ,利用配方法或二次函数的图象、单调性等求出最值， 但需注意,由于取正整数,所以 不一定是在抛物线的顶点处取得最值,而可能是在离顶点最近的 横坐标取整数的点处取得最值. 题型4 等差数列前项和的最值 32 15.（多选）[安徽合肥一中2024质量检测] 已知等差数列的前项和为，当且仅当 时，取得最大值，则满足的最大的正整数 一定不等于( ) AD A.12 B.13 C.14 D.15 题型4 等差数列前项和的最值 33 解析 因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且， .所以 ，所以，即满足的最大的正整数 一定不等于 ，，故时， ，即满足 的最大的正整数一定不等于15.当时，，则满足 的最大的正整数 为14；当时，，则满足的最大的正整数为13.故满足 的最大的 正整数为13或14，一定不等于12与15.故选 . 题型4 等差数列前项和的最值 34 16.已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前 项 和最大，则当时， ( ) D A.17 B.18 C.19 D.20 题型4 等差数列前项和的最值 35 解析 由题意可知，当时，，，解得 .因 为，所以，所以.所以，解得或 （舍）.故选D. 题型4 等差数列前项和的最值 36 17.[湖北武汉2023高二期中] 在等差数列中，，公差，则使前项和 取得 最大值的正整数的值是______；使前项和的正整数 的最大值是____. 6或7 12 题型4 等差数列前项和的最值 37 解析 因为，，所以，且，所以，所以 ， 所以当时，；当时， . 所以使前项和取得最大值的正整数 的值是6或7. 因为，且，所以，所以使前 项和 的正整数 的最大值是12. 题型4 等差数列前项和的最值 38 18.已知数列的前项和满足，且 . （1）求， ； 【解】,,舍去 . 题型4 等差数列前项和的最值 39 （2）求 的通项公式； [答案] 当 时， ，由此得 . ， . 是首项为1，公差为2的等差数列, . 题型4 等差数列前项和的最值 40 （3）令，求数列的前项和 的最大值. [答案] ，，,, 是以19为首项， 为公差的等差数列. .故当 时， 取最大值，最大值为100. 题型4 等差数列前项和的最值 41 19. ( ) C A. B. C. D. 易错点1 错认项数而求和致错 42 解析 易知数列1,4,7, ,,为等差数列，且首项为1，公差为3，项数为 ,所以原 式 .故选C. 易错点1 错认项数而求和致错 43 【易错警示】本题的项数为，易错认为有 项. 易错点1 错认项数而求和致错 44 20.（多选）已知数列满足，则使其前项和取最大值的 的值为( ) BC A.11 B.12 C.13 D.14 易错点2 忽略零项而致错 45 解析 令，解得 ，故数列的前12项大于0，第13项等于0，第13项后面的 项均小于0.所以数列的前12项和或前13项和最大，故使其前项和取最大值的 的值为12 或13.故选 . 易错点2 忽略零项而致错 46 21.已知等差数列的前项和为，，公差，.若取得最大值，则 ______. 7或8 易错点2 忽略零项而致错 47 解析 在等差数列中，，公差，， ， ，,, 当或8时， 取得最大值. 易错点2 忽略零项而致错 48 【易错警示】以上两题都易漏掉其中的一解而致错，错因在于忽略零项，在涉及数列求最值的题 目时，要格外注意是否有零项. 易错点2 忽略零项而致错 49 1.2 课时2 等差数列的前项和（2） 刷基础 50 1.已知等差数列的前项和为.若，且，，则 ( ) C A.38 B.20 C.10 D.9 题型1 等差数列前项和的性质 51 解析 根据等差数列的性质可得 . 又， ， 或 . 若，显然不成立， . ，解得 .故选C. 题型1 等差数列前项和的性质 52 【二级结论】对等差数列,有； . 题型1 等差数列前项和的性质 53 2.[河南安阳2024高二月考] 已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为 ，且 ，，则 ( ) B A. B. C. D. 题型1 等差数列前项和的性质 54 解析 设等差数列的公差为，首项为，则，所以 ， 因为，即，则 . 等差数列的奇数项构成以为首项， 为公差的等差数列，且前30项中奇数项有15项，所以 ，得，所以 .故选B. 题型1 等差数列前项和的性质 55 【二级结论】在等差数列中，与 分别是所有偶数项的和与所有奇数项的和，若项数为 ,则有,且, ;若项数为 ,则有为中间项），且, . 题型1 等差数列前项和的性质 56 3.[甘肃临夏州三校2024高二期中] 设等差数列的前项和为，若, ，则 ( ) B A.9 B.11 C.13 D.25 题型1 等差数列前项和的性质 57 解析 设等差数列的公差为.因为,，且,, 成等差数列，所以 ,即 ，故选B. 题型1 等差数列前项和的性质 58 【多种解法】 为等差数列, 也是等差数列，,,分别是数列的第3项，第6项和第9项， ，代入 ,，解得， . 【二级结论】已知等差数列的前项和为，公差为，则,,,, 仍成等差数列，且公差为 . 题型1 等差数列前项和的性质 59 4.已知等差数列的前项和为，若，，，则 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 题型1 等差数列前项和的性质 60 解析 设等差数列的公差为， 是等差数列. ，，是数列中连续的三项，，解得 ，故 选C. 题型1 等差数列前项和的性质 61 【归纳总结】已知等差数列的前项和为，则是以为首项，数列 的公差的一半为 公差的等差数列. 题型1 等差数列前项和的性质 62 5.[黑龙江哈尔滨九中2023高二期中] 已知等差数列,的前项和分别为,，且 ， 则 ( ) B A.7 B.8 C.9 D.10 题型1 等差数列前项和的性质 63 解析 ， 由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得 .故选B. 题型1 等差数列前项和的性质 64 【二级结论】已知等差数列和的前项和分别为,，则, . 题型1 等差数列前项和的性质 65 6.[甘肃武威2024高二月考] 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大 寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，共十二个节气，其日影长依次 成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和 为85.5尺，则立春的日影长为( ) A A.10.5尺 B.11尺 C.11.5尺 D.12尺 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 66 解析 设十二个节气的日影长所成等差数列为，首项为，公差为 ，依题意，得 即 即 解得所以 尺.故选A. 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 67 7.[课标全国Ⅱ理2020·4，5分] 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、 下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构 成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外 每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形 石板（不含天心石）( ) C A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 68 解析 设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列，由题意知 . 又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加 9块，所以数列 为公差为9的等差数列. 方法一：设每层环数为，则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为， ， ，，中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为，， ， ，下层由内向外 每环的扇面形石板的块数依次为，， ， . 由题意知 ，由等差数列的性质知 ，所以，得 . 则数列共有项，故三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数即为数列 的前 27项和，即 ，故选C. 方法二：设每层环数为，设数列的前项和为，由等差数列的性质知， ， ，成等差数列，且，则，解得 . 则数列共有项，故三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数即为数列 的前 27项和，即 ，故选C. 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 69 8.[浙江杭州2024高二期中] 已知数列的通项公式为 ，则其前8项和为( ) D A. B. C. D. 题型3 裂项相消法求和 70 解析 因为 ，所以前8项和为 ，故选D. 题型3 裂项相消法求和 71 9.已知数列的通项公式为，若其前项和为9，则项数 为( ) A A.99 B.100 C.101 D.102 题型3 裂项相消法求和 72 解析 设数列的前项和为.因为，所以数列的前 项和 ，令 ，解得 ，故选A. 题型3 裂项相消法求和 73 【规律方法】裂项相消法求和的关键是将数列的通项列成两个结构相同的式子之差的形式，求和 时相邻两项相消或隔项相消，需要特别注意前面几项和后面几项，找到相消的规律，保证正确相 消，避免多项或漏项. 常见的裂项技巧 （1） ； （2） ; （3） ; （4） ; （5） . 题型3 裂项相消法求和 74 10.[山东临沂2023高二期末] 已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前 项和为( ) C A.130 B.150 C.180 D.210 易错点1 乱用结论致错 75 解析 等差数列的前项和中,,,也成等差数列，即30,60, 成等差数列，, .故选C. 易错点1 乱用结论致错 76 【易错警示】易错解为,,,所以 .错因在 于误以为为等差数列，则,,也为等差数列，实际应是,, 是公差 为为等差数列的公差 的等差数列. 易错点1 乱用结论致错 77 11.已知在数列中，， . （1）求数列的通项公式及其前项和 ； 【解】因为，即，所以数列 是等差数列，所以 ，所以 . 易错点2 等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错 78 （2）求数列的前项和 . [答案] 令可得，又由题意知 , 所以当时， ； 当 时， . 综上可得， 易错点2 等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错 79 【易错警示】中有正数也有负数，去绝对值符号前应分类讨论,故需先判断出当 时， ，当时，，再分和两种情况求解 . 易错点2 等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错 80 1.2 课时2 等差数列的前项和（2） 刷提升 81 1.（多选）[河南南阳六校2023高二期中] 已知等差数列的前项和为，若 ，则 ( ) ABC A. B. C. D. 82 解析 因为是等差数列，所以 . 根据题意，又，所以 ， 从而， ，故选项A，B正确； 又，所以 ，故选项C正确； 对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误.故选 . 83 2.已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则 的值为 ( ) B A. B. C.2 D.3 84 解析 设等差数列的公差为.由得 ，整理可得 .则 .故选B. 85 3.已知数列的前项和，则 ( ) A A.350 B.351 C.674 D.675 86 解析 当时， ； 当时， . 当时， 不符合上式， 因此， .故选A. 87 4.[山东泰安2024高二期末] 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且 ， 则 的值为( ) A A. B. C. D. 88 解析 因为，所以可设，， ， 所以，，所以 ， 故选A. 89 5.若等差数列的公差为，其前项和为，记 ，则( ) D A.数列是等差数列，的公差也为 B.数列是等差数列，的公差为 C.数列是等差数列，的公差为 D.数列是等差数列，的公差为 90 解析 由题可得， ，则 ，则数列是公差为 的等差数列，故A，B错误； 由，可知数列是公差为 的等差数列，故C错误； 由，可知数列是公差为 的等差数列，故D正确.故选D. 91 6.记等差数列的前项和为，，，则满足的 ( ) A A.50 B.51 C.100 D.101 92 解析 根据题意，在等差数列中，， ， 则有，即 .又由 ，得,则有.若，必有 .故选A. 93 7.[广东深圳高中2024高二期末] 在等差数列中，已知， ，设 ，则 的值为( ) B A.8 B.9 C.10 D.11 94 解析 因为为等差数列，所以,,,, 仍成等差数列. 由，得，所以，，所以 .故选B. 95 8.[甘肃兰州2024高二期中] 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中 “如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人， 次日转多七人.”其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开 始每天派出的比前一天多7人.则该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为( ) B A.9 B.16 C.18 D.20 96 解析 根据题意设每天派出的人数组成数列，且该数列是首项，公差 的等差数列. 设该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为，则，解得 （负值舍去），故选B. 97 9.（多选）已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若 为递减数列，则下列结 论正确的为( ) BCD A.数列 为递减数列 B.数列 是等差数列 C.若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D.若，，则 98 解析 由数列是递减的等差数列得 . 对于A,不妨举例数列为4,3,2,1,0，，，, ，则,, ，这三项不构成 递减数列，故A错误； 对于B，，是关于的一次函数，因此 是等差数列，故B正确； 对于C，前10项中，奇数项的和为 ，偶数项的和 ，所以，设，，则 ， 解得，所以公差 ，故C正确； 对于D， ，则， ，则 ，所以 ，故D正确.故选 . 99 10.（多选）[甘肃武威四校2024高二期中] 已知数列的前项和 满足 ， ，则( ) ABC A.数列的奇数项成等差数列 B.数列 的偶数项成等差数列 C. D. 100 解析 因为数列的前项和满足 ， 所以，即，可得 . 当时，由可得 ， 两式作差，有 . 又由，可得当时，，则 , 由 ， 可得数列的奇数项、偶数项均分别成等差数列，故 正确； ， 故C正确； ，故D错误. 故选 . 101 11.设数列的前项和为.如果，，，那么，，， 中最 小的为____. 102 解析 数列的前项和为，，， ， 数列是首项为 ，公差为2的等差数列， ，，，，，，， . 故，，，中最小的为 . 103 12.已知为等差数列的前项和，，，则 _________. 解析 令，为常数， ， 则 得 . ， ， . 104 【多种解法一】不妨设 ， 则 ， . . 【多种解法二】 是等差数列， 也为等差数列，设其公差为 . ， ， ，解得 . 105 13.[安徽宿州2023高二期中] 在等差数列中，已知首项，前项和为，公差 ， ， . （1）试求和 ； 【解】由解得或 因为，所以， . 106 （2）求数列的前项和 . [答案] 因为，，所以，则，且 为等差数列，所以 . 107 14.[江苏南京金陵中学2023高二期中] 已知为等差数列的前项和，， . （1）求数列 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为.因为，且 ，所以 解得所以 . 108 （2）若，求数列的前10项和 . [答案] 由（1）得，所以 ， 所以 ， 所以 . 109 15.[河南南阳2024高二月考] 设等差数列的前项和为，， ，且 有最大值. （1）求数列的通项公式及前项和 ； 110 【解】设的公差为 . 因为数列为等差数列，所以，又 ， 解得或 因为有最大值，所以 ， 所以所以 解得 所以， . 111 （2）设数列的前项和为，求 . [答案] 由，解得 ; 由，解得，即 . 所以当时， ; 当 时， . 综上, 112 【特别注意】求数列的前 项和的注意事项 一般地，数列与数列是两个不相同的数列，只有数列 中的每一项都是非负数时，它 们表示的才是同一数列.因此，求数列的前项和时，应先弄清取什么值时或 , 去掉绝对值符号后再求和. 113 16.[甘肃金昌2024高二期中] 已知数列的前项和为，且 , . （1）求数列 的通项公式； 【解】当时， ， 即，又，所以 . 当时， ， 又，两式相减可得 ， 即，化简得 ， 又,，所以 ， 所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列. 所以 ， 即数列的通项公式为, . 114 （2）设，数列的前项和为，证明： . 【证明】因为，所以 ， 所以 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 115 $$