1.1 数列的概念-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1.1 1.1 数列的概念 刷基础 2 1.下列有关数列的说法正确的是( ) D A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列,0,1与数列1,0， 是同一个数列 C.数列1,3,5,7可表示为 D.数列中的每一项都与它的序号有关 题型1 数列概念的理解 3 解析 A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3， 的各项都是3；B是错误的，数列 ,0,1 与数列1,0，中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的， 是一个集合；易知D 是正确的. 题型1 数列概念的理解 4 【名师点拨】数列与集合的区别 （1）数列中的项可以相同，集合中的元素不可以相同； （2）数列中的项是有序的，集合中的元素是无序的. 题型1 数列概念的理解 5 2.（多选）下列四个结论正确的有( ) BD A.任何数列都有通项公式 B.给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列 C.给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式 D.数列的通项是项数 的函数 题型1 数列概念的理解 6 解析 对于A，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，例如： 的近似值构成 的数列3,,,, ，就没有通项公式，A错误；对于B，根据数列的表示方法可知，B正 确；对于C，给出了数列的有限项，数列的通项公式不一定唯一，例如：1,,1,, ，其通项 公式既可以写成，也可以写成，C错误；对于D，根据数列 是从正 整数集（或它的有限子集,2, ，）到实数集的函数可知，D正确.故选 . 题型1 数列概念的理解 7 3.（多选）[河南平顶山2023高二期末统考] 下列有关数列的说法正确的是( ) AD A.数列的图象是一群孤立的点 B.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C.数列0，2，4，6，8， 的一个通项公式为 D.数列1,,2,，4, 的一个通项公式为 题型1 数列概念的理解 8 解析 对于选项A，因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ，所以数列的图象是一群孤立 的点，故A正确；对于选项B，常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误；对于选项C， 当时，，故C错误；对于选项D，因为,, ， ,, ，所以该数列的一个通项公式为，故D正确.故选 . 题型1 数列概念的理解 9 4.[吉林长春2024高二期末] 已知数列1，，，，3，， ，， ，则 是 这个数列的( ) B A.第21项 B.第23项 C.第25项 D.第27项 题型2 数列的通项公式 10 解析 因为题中数列的第项为，而，所以 是题中数列的第 23项.故选B. 题型2 数列的通项公式 11 5.[甘肃酒泉四校2024高二期中联考] 已知数列的一个通项公式为 ，且 ，则实数 ( ) A A.3 B.1 C. D.0 题型2 数列的通项公式 12 解析 因为，，所以，解得 ,故选A. 题型2 数列的通项公式 13 6.[甘肃兰州西北师大附中2024高二期末] 数列1，，，， ,…的一个通项公式是( ) B A. B. C. D. 题型2 数列的通项公式 14 解析 由于数列中各项的分母1，3，5，7， 是奇数列，分子1，2，3，4， 是自然数列，故 通项公式为 .故选B. 题型2 数列的通项公式 15 7. 下列星星图案中星星的个数构成数列,则数列 的一个通项公式是__________. 题型2 数列的通项公式 16 解析 由题图可知,,,,, , ,,,则,当时，也成立. . 题型2 数列的通项公式 17 【链接教材】本题是教材第7页练习第1题的变式.此类与图、表结合求数列通项公式或某一项的题 目，关键在于找到相邻图形之间的联系以及变化规律，利用递推关系求解. 题型2 数列的通项公式 18 8.[重庆七中2024高二月考] 已知数列满足，，则 ( ) C A. B. C.1 D.2 题型3 数列的递推公式 19 解析 因为，，所以，解得.由 得 .故选C. 题型3 数列的递推公式 20 9.[天津滨海新区2024高二期末] 已知数列满足， ， ,则数列 的前9项和为( ) A A.35 B.48 C.50 D.51 题型3 数列的递推公式 21 解析 由题得当时，，当时，，当 时， ，当时，，当时，，当 时， ，当时,，所以 的前9项和 .故选A. 题型3 数列的递推公式 22 10.（多选）[安徽马鞍山二中2023高二月考] 在数列中，， ，则 ( ) BD A. B. C. D. 题型3 数列的递推公式 23 解析 由得,当时, ， ， ，， ，将各式相加得 ，则.当时, ，满足上式，所以 ，当时，.故选 . 题型3 数列的递推公式 24 11.已知数列满足，，则数列 的通项公式是( ) A A. B. C. D. 题型3 数列的递推公式 25 解析 因为，所以当时，，， ，，， ， 所以，即 ，即 ，又符合此式，所以 ，故选A. 题型3 数列的递推公式 26 【规律方法】由递推公式求通项公式的常用方法 （1）常数或 是可以求和的）,使用累加法或迭代法; （2）为非零常数或 是可以求积的）,使用累乘法或迭代法. 题型3 数列的递推公式 27 12.[吉林长春2023高二月考] 已知数列的前项和，则 ( ) C A.11 B.12 C.13 D.14 题型4 数列的前项和 28 解析 由题可知 ，故选C. 题型4 数列的前项和 29 13.设为数列的前项和，若，则 ( ) B A.27 B.81 C.93 D.243 题型4 数列的前项和 30 解析 根据，可得，两式相减得 ，即 .当时，，解得，则 . 题型4 数列的前项和 31 14.已知数列的前项和为，则 的通项公式为_ _____________________. 题型4 数列的前项和 32 解析 由已知得当 时， ，又当 时， ，所以的通项公式为 题型4 数列的前项和 33 15.（多选）[甘肃白银2024高二月考] 下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 ( ) BD A.1，，，， ，， B.，，，， ，， C.，，， ，， D.1，，， ，， 题型5 数列的单调性 34 解析 对于A，1，，，， ，， 为递减数列，故A错误； 对于B，，，，， ，， 为递增数列，且是无穷数列，故B正确； 对于C，，，， ，， 中 ，故不是递增数列，故C错误； 对于D，1，，， ，， 既是无穷数列又是递增数列，故D正确. 故选 . 题型5 数列的单调性 35 16.[广西玉林2023高二期末] 在数列中， ，则 的值为( ) A A. B.7 C. D.8 题型5 数列的单调性 36 解析 因为在数列中，，所以 ，则当 时，在数列中；当时，数列 单调递增，则 ，所以 .故选A. 题型5 数列的单调性 37 17.定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数 恒有 ，则称数列是从第项起的周期为的周期数列.已知周期数列满足 ， ，，则 ( ) D A. B. C. D.1 题型6 数列的周期性 38 解析 写出周期数列的前几项：1，3，2，，，，1，3，2，，，，1， ， 发现周期数列是从第1项起的周期为6的周期数列， .故选D. 题型6 数列的周期性 39 18.[北京师范大学附属中学2023高二期中] 已知数列的首项为2，满足 ，则 ( ) C A.2 B. C. D. 题型6 数列的周期性 40 解析 因为，所以,,， . 所以数列是以4为周期的周期数列，所以 .故选C. 题型6 数列的周期性 41 19.[甘肃武威2024高二月考] 在数列中，， ，则前2 022项和 为( ) C A. B. C. D. 题型6 数列的周期性 42 解析 因为，，所以， ， ， ，所以该数列是以3为周期的周期数列.因为 ， ，所以 .故选C. 题型6 数列的周期性 43 20.[安徽芜湖一中2024高二质量诊断测试] 已知数列的通项公式为 .若 为递增数列，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 44 解析 数列是递增数列，且数列的通项公式为 , 恒成立. 的最小值 ，,即实数 的取值范围是 .故选A. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 45 【易错警示】由于数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，因此涉及含参数的数列的单调 性问题时应根据数列的单调性，将问题转化为或 恒成立的问题.本题 的易错之处是容易将数列的单调性与函数在 上的单调性混淆，这是因 为数列的定义域不是连续的区间，而函数的定义域是连续的区间，所以不能利用求 的取 值范围. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 46 21.[广东佛山2023高二月考] 已知在数列中，，则数列 的最小项是 ( ) D A.第1项 B.第3项、第4项 C.第4项 D.第2项、第3项 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 47 解析 根据题意，在数列中，， ，根据二次函数的单 调性得数列 的最小项是第2项和第3项.故选D. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 48 【易错警示】在利用函数的单调性研究数列中的最大（小）项问题时，需要注意数列通项公式中 的 ，可能存在两项同时为最大（小）项的情况. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 49 22.[河北邢台2023高二期末] 已知数列的前项和，则数列 的通项公式 为_ ____________________. 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 50 解析 当时，，即 ; 当时，，当 时， 不满足上式. 所以 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 51 【易错警示】已知求时，要注意的限制条件，若时， 符合 的式子,则数列的通项公式可以合并为一个式子，否则 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 52 23.已知数列满足,则 _ ____________________. 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 53 解析 因为,所以当时， ； 当时，,两式相除得 . 所以 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 54 【易错警示】易错解为,忽略 的情形.注意在对数列的公式进行变形时，常常会改 变的取值，要善于根据的表达形式确定 的取值范围，即树立定义域优先意识. 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 55 1.1 1.1 数列的概念 刷能力 56 1.观察数列,，( ) ，,，( ) ， 的特点，则括号中应填入的适当的数为( ) D A., B., C., D., 57 解析 由已知条件可得数列的通项公式为，, .故选D. 58 2.若数列的通项公式为 ，则关于此数列的图象叙述正确的是( ) D A.此数列不能用图象表示 B.此数列的图象仅在第一象限 C.此数列的图象为直线 D.此数列的图象为直线上满足 的一系列孤立的点 59 解析 数列的通项公式为，它的图象就是直线上满足 的一系列 孤立的点，故选D. 60 3.[甘肃白银2024高二月考] 已知数列的通项公式为 ，则该数列的第 项为( ) A A.1 B. C. D. 61 解析 因为 ， 当为奇数时，,, ； 当为偶数时，，, . 综上， .故选A. 62 4.[河南郑州2024期末] 设函数数列满足， ，且 数列是递增数列，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C., D. 63 解析 由题意可得 解得 . 故选A. 64 【特别注意】根据题中函数的单调性，知分段函数两段均单调递增，但是要注意数列与函数的区 别，数列是不连续的，所以即可，而不是 . 65 5.在数列中，，，则 ( ) A A. B. C. D. 66 解析 ， 当 时， , . 67 【多种解法】，， 数列 是常数列，即，则 .故选A. 68 6.[广东汕头2023高二期末] 在数列中，,,, ，则 ( ) C A.260 B.860 C.1 011 D.2 022 69 解析 由得，两式相除可得，所以数列 是以6为周期的周 期数列，又 ，所以 . 70 7.[甘肃兰州一中2024高二期末] 如果数列的前6项分别为，0，，0， ，0，则下列各 式：；； 其中可能作为数列 通项公式的是( ) D A.① B.①② C.②③ D.①②③ 71 解析 对于①，分别取1，2，3，4，5，6，满足前6项分别为，0，，0， ，0，故①正确； 对于②，分别取1，2，3，4，5，6，满足前6项分别为，0，，0， ，0，故②正确； 对于③，分别取1，2，3，4，5，6，满足前6项分别为，0，，0， ，0，故③正确. 故选D. 72 8.（多选）[吉林省吉林市2024高二期末] 若数列满足, , ，则称数列 为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结 论成立的是( ) ABC A. B. C. D. 73 解析 由题意得,,,, ，故A正确； , 故B正确；，又 ，所以 得，故C正确；，故D错误.故选 . 74 9.[福建师大附中2023高二开学考] 数列的通项公式，前项和为 ，则 ________. 3 030 75 解析 函数的周期，因此当 时， ，所以 . 76 10.已知数列对任意的,满足，且，则_____， ______. 77 解析 由题意得，则，而 ，所以 ， ，可知 . 78 11.已知数列的通项公式为 若，则 ________. 1 023 79 解析 因为所以.因为，显然 不能为偶数， 则为奇数，即，解得 . 80 12.[山西太原2023高二期末] 一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个小正方 形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个小正 方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了____个正方形，请写出每次挖掉的正方形 个数所构成的数列的一个递推公式：___________________. 73 81 解析 图③中共挖掉了（个）.设每次挖掉的正方形个数为 ，根据图形得 ，，，则，故递推公式为 . 82 13.[湖北襄阳一中2023高二期末] 已知数列的通项公式为 . （1）判断数列 的单调性，并证明你的结论； 【解】因为，所以数列 是递减数列. 证明：在数列中，，则 ，所以 ，故数列 是递减数列. 83 （2）若数列中存在的项，求 的值. [答案] 若，即，变形可得，解得或 （舍去），故 . 84 【规律方法】判断数列中是否存在某项,只需将此数代入数列的通项公式中，求出 的值.若求出的 为正整数，则该数是数列中的项,否则该数不是数列中的项. 85 14.已知在数列中，,,是关于项数 的一次函数. （1）求的通项公式，并求 ； 【解】设,则解得 ， . 86 （2）若是由,,,， 组成的，试归纳 的一个通项公式. [答案] ,,,， 为5,9,13,17, , . 87 15.[湖南长沙雅礼中学2024高二期末] 记数列的前项和为，对任意正整数 ，有 ，且 . （1）求和的值，并猜想 的通项公式； 【解】由题意对任意正整数，有 ， 令时，，即，可得 ； 令时，，即，可得 . 由,,猜想： . 88 （2）证明第（1）问猜想的通项公式； [答案] 由（1）可知 ； 当时，由得，则 ， 即，即 ， 故时， ， 且也适合上式，所以 . 89 16.[北京大学2023强基计划] 数列满足：,，则 除以7的余数为 ( ) B A.1 B.2 C.4 D.以上都不对 90 解析 设数列满足,,则, ,当 时，若,则 ,因此，对任 意,均有 . 由,,可得,则有 ,即 ,可得,所以 , ， 除 以7的余数为2.故选B. 91 17.[北京大学2022强基计划] 已知数列，,2, ，5，各项均为正整数，且 ， 中存在一项为3，则可能的数列的个数为_____. 211 92 解析 记，则,0,,对确定的,,,，数列,,2, ， 5各项间的大小顺序即确定.设,,,,，因为 中存在一项为3，所以 ，对于给定的,,,,可唯一确定一组数列，由于,0,且 ,则这 样的数列共有（个），其中不符合题设条件的数列是数列 的各项均为1或2，这 样的数列有（个）.综上所述，符合要求的数列共有 （个）. 93 $$