专题7 极值点偏移问题-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修 第二册 XJ 1 7 专题7 极值点偏移问题 刷难关 2 1.[安徽阜阳2023高二学情检测] 已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； 【解】函数 的定义域为 , ,当 时， ， 的单 调递增区间为 ;当 时，当 时， ， 的单调递增区间为 , 当 时， ， 的单调递减区间为 . 综上所述，当 时， 在定义域上单调递增; 当 时， 在 上单调递增,在 上单调递减. 题型1 证明零点和 3 （2）若方程 有两个不相等的实数根 ， ，证明： . 【证明】因为方程 存在两个不相等的实数根 , ，因此 不为单调函数，所以由 （1）得 . 令 ，则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，最小值为 ，不妨设 ，则 ，令 ， . 则 ， 所以 在 上单调递增，且 ，所以当 时， .因为 ，所以 ， ，因为 ，所以 . 因为 的单调递增区间为 ， ， ，所以 ， 所以 . 题型1 证明零点和 4 【归纳总结】本题用对称化构造的方法求解极值点偏移问题大致分为以下三步： ①首先构造函数 ，求导，确定函数 的单调性； ②确定两个零点 ，且 ，由 的范围与函数值 得 与零的大小关系； ③最后由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题. 题型1 证明零点和 5 2.[重庆杨家坪中学2023高二月考] 已知函数 . （1）求函数 的单调区间和最大值； 【解】函数 的定义域是 , .当 时， 恒成立，故 的单调递增区间为 ，无单调递减区间和最大值； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 的单调递增 区间为 ，单调递减区间为 ， . 题型1 证明零点和 6 （2）设函数 有两个零点 , ，证明： . 【证明】 ，因为 , 为 的两个零点，所以 ，不妨设 .因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 . 证明 等价于证明 ，又因为 , , 在 上单调递 增，因此证明原不等式等价于证明 ，即需证明 ，即要证明 ， 即 恒成立. 题型1 证明零点和 7 令 ，则 （等号不恒成立），所以 在 上单调递减， 所以 ，又当 时， 取不到0，所以 在 时恒成立，因此不等式 恒成立，即 成立. 题型1 证明零点和 8 3.[四川成都外国语学校2023高二期中] 已知函数 有两个零点 , ，且 ，则下列结论正确的个数是( ) ； ； ； . C A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 证明零点积 9 解析 由 可得 ，令 ，其中 ，则直线 与函数 的 图象有两个交点， ，由 可得 ，所以函数 的单调递增区间 为 ，由 可得 ，所以函数 的单调递减区间为 ，且当 时， ，当 时， ，函数 的大致图象如图所示.由图可 知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，①正确. 题型2 证明零点积 10 对于②，因为 ，由 可得 ，由 可得 ，所 以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，则必有 ，所 以 ，则 ，令 ， 其中 ，则 ，则函数 在 上单调递减，所 以 ，即 ，即 ，又 ，可得 ，因为函数 的单调递减区间为 ，则 ，即 ， ②错误. 题型2 证明零点积 11 对于③，由 两式相加整理可得 ，所以 ，因 此 ，③正确. 对于④，由图可知 ，则 ，又因为 ，所以 ，④正 确.故选C. 题型2 证明零点积 12 4.已知函数 . （1）若当 时， ，求实数 的取值范围； 【解】 ， ， .设 ， ，当 时，令 得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， ，与已知矛盾. 当 时， 且等号不恒成立， 在 上单调递增， ， 满足条件. 综上，实数 的取值范围是 . 题型2 证明零点积 13 （2）当 时，方程 有两个不相等的实数根 , ，证明： . 【证明】当 时， ，当 时， ，当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减. 不妨设 ，则 ，要证 ，只需证 . 在区间 上单调递增， 只需证 . ， 只需证 . 设 ，则 ，