专题6 导数中的同构问题-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修 第二册 XJ 1 6 专题6 导数中的同构问题 刷难关 2 1.[山西运城2023高二月考] 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为 同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于 的方程 和 关于 的方程 可化为同构方程，则 的值为( ) A A. B. C. D.1 题型1 利用同构思想求函数值 3 解析 对 的两边同时取自然对数，得 . 对 的两边同时取自然对数，得 ，即 . 因为方程①②为同构方程，所以 ，解得 . 设 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，所以方程 的解只有一个， 所以 ，所以 .故选A. 题型1 利用同构思想求函数值 4 2.已知 是方程 的一个根，则 的值是( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 题型1 利用同构思想求函数值 5 解析 , 设 ， 恒成立，故 在 上单调递增， 由 得 ，所以 ， 所以 ，故选B. 题型1 利用同构思想求函数值 6 【名师点拨】本题解题的关键在于根据同构式整理得到 ，进而构造函数 ，研究函数 的单调性得 ，即 ，进而求解. 题型1 利用同构思想求函数值 7 3.[河北沧州2023高二月考] 若正实数 是关于 的方程 的根，则 ___. 0 解析 令 ，则 在 上单调递增， ，即 ，故 . 正实数 是方程 的根， ， 则 ，得 ，即 . 题型1 利用同构思想求函数值 8 【归纳总结】指数、对数同构的五个常见变形 ， ， ， ， . 拓展： , ， . 题型1 利用同构思想求函数值 9 4.（多选）[甘肃金昌2023高二期末] 下列判断正确的是( ) BCD A. B. C. D. 题型2 利用同构思想巧解不等式问题 10 解析 选项A， ，选项B， ，选项 C， ，选项D， . 构造函数 ，则 ，由 得 ；由 得 ，所 以 在 上单调递增，在 上单调递减，由 知， ，故A错误； 由 知， ，故B正确； 由 知， ，故C正确； 由 知， ，故D正确. 故选 . 题型2 利用同构思想巧解不等式问题 11 【名师点拨】本题利用不等式的结构采用同构函数来解决，同构法是判断不等式的一种技巧，通过等价变形使得不等式的两边的式子结构相同，从而将两边看成是同一个函数的两个函数值，此时借助该函数的单调性简化不等式达到判断不等式的目的. 题型2 利用同构思想巧解不等式问题 12 5.（多选）[湖南湘潭2023期末] 是自然对数的底数， , ，已知 ，则下列结论一定正确的是( ) BC A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 题型2 利用同构思想巧解不等式问题 13 解析 原式变形为 ，构造函数 ，则 . ，当 时， , ，则 ，即 ,当 时， , ，则 ，即 ,故 在 上单调递减，在 上单调递增. 对于A,取 ，则 , 在 上单调递增， ，即 满足题意，但 ，A错误. 对于B,若 ，则当 ，即 时， ，即 ;当 ， 即 时，由 在 上单调递增，且 ，故 ，则 ， 综上所述， ，B正确. 题型2 利用同构思想巧解不等式问题 14 对于C，若 ，则当 ，即 时， 显然成立； 当 ，即 时，令 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立， 当 时， ，即 ，由 可得 ，即 ，又 在 上单调递增，且 , ， ，即 ，综上所 述， ，C正确. 对于D，取 ， ，则 ， 在 上单调递减， ，故 ， 满足题意，但 ，D错误.故选 . 题型2 利用同构思想巧解不等式问题 15 【归纳总结】指对同构的常用形式 （1）积型： ①构造形式为 ，构建函数 ； ②构造形式为 ，构建函数 ； ③构造形式为 ，构建函数 . （2）商型： ①构造形式为 ，构建函数 ； ②构造形式为 ，构建函数 ； ③构造形式为 ，构建函数 . 题型2 利用同构思想巧解不等式问题 16 6.[安徽师范大学附属中学2023高二期中] 已知实数 ，若不等式 恰好有四 个整数解，则实数 的取值范围为_ _________. 题型2 利用同构思想巧解