专题4 曲线的公切线问题-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修 第二册 XJ 1 4 专题4 曲线的公切线问题 刷难关 2 1.已知函数 , .求曲线 与 的公切线方程. 【解】设曲线 上一点为 ，又 ， ， 曲线 上过点 的切线方程为 ，即 . ，设曲线 上一点为 , ， 又 ， ， 过点 , 的切线方程为 ，即 .若 与 为同一直线， 则 解得 公切线的方程为 . 题型1 求曲线的公切线 3 2.[江西南昌2023高二期中] 已知函数 ， . （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程. 【解】当 时， ， ， .所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 . 题型1 求曲线的公切线 4 （2）若 ，是否存在直线 与曲线 和 都相切？若存在，求出直线 的 方程（若直线 的方程含参数，则用 表示）；若不存在，请说明理由. [答案] 假设直线 存在，则设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切 于点 .因为 ， ，所以曲线 在点 处的切 线方程为 ，设切线与曲线 相切于点 ，则 且 . 由 可得 ，则 ，代入 得 ，解得 或 . 当 时，直线 .当 时， ，直线 . 故存在直线 与曲线 和 都相切，直线 的方程为 或 . 题型1 求曲线的公切线 5 【规律方法】设公切线 在 上的切点为 ，在 上的切点为 ，则必定满足两切线方程的斜率相同，且两切点都在直线 上，从而得到关于 和 的方程组，消去 或 得关于 或 的方程，解方程进而求公切线. 题型1 求曲线的公切线 6 3.[甘肃兰州2023高二月考] 曲线 与曲线 的公切线条数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 判断或证明公切线条数 7 解析 设 是函数 图象上任意一点， ，所以 ，所以曲 线 在点 的切线方程为 ，整理得 . 令 ，解得 ，则 ，所以曲线 在点 的切线方程为 ，整理得 . 由于切线①②重合，故 ，即 . 构造函数 ，则 ，当 时， ，当 时， ,所以 ，又 ， ,所以函数 有两个零点，所以曲线 与曲线 有2条公切线. 题型2 判断或证明公切线条数 8 【归纳总结】判断两曲线公切线的条数的基本步骤 ①分别设切点，求出切线方程； ②利用两切线重合，建立关于切点横坐标的方程组； ③消元得某一切点横坐标的方程； ④通过判断方程在规定范围内解的个数判定公切线的条数. 题型2 判断或证明公切线条数 9 4.已知函数 ， ， ， . （1）求函数 在区间 上的极值； 【解】 ， ， ，当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减，所以当 时，函数取得极大值 ，无极 小值. 题型2 判断或证明公切线条数 10 （2）判断曲线 与曲线 有几条公切线，并给予证明. [答案] 设直线 分别切 ， 的图象于点 ， . 由 ，得 ，所以直线 的方程为 ，即直线 . 由 ，得 ，所以直线 的方程为 ，即 . 比较 的方程可得 消去 可得 . 令 ，所以 ， 题型2 判断或证明公切线条数 11 当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 . 因为 ，所以 在 上有一个零点. 由 ，得 ，所以 在 上有一个零点.故函数 在区间 上有2个零点.故曲线 与曲线 有2条公切线. 题型2 判断或证明公切线条数 12 【思路导引】（1）先写出函数 的解析式，再求其导数 ，利用导数和单调性、极值的关系，即可求解； （2）设直线 分别切 ， 的图象于点 ， ，并分别求切线方程，比较两个方程后可得关于 , 的方程组，消去 后可得关于 的方程，再构造对应的函数，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，可判断零点个数，即为公切线条数. 题型2 判断或证明公切线条数 13 5.[湖北武汉2023高二期中联考] 若直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 ( ) D A.26 B.23 C.15 D.11 题型3 已知公切线或公切线条数求参数值（范围） 14 解析 因为 ，所以 ，由 ，解得 或 （舍去），所以切点为 .因为切点在切线 上，所以 ，所以切线方程为 . 设直线 与曲线 的切点为 ， 又 ，由题意得 解