专题3 导数中的隐零点问题-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修 第二册 XJ 1 3 专题3 导数中的隐零点问题 刷难关 2 1.[湖北荆州2022高二月考] 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . （1）求函数 的单调区间； 【解】因为 ，所以 ，解得 ，所以 . 函数 的定义域为 ， 令 ，得 ； 令 ，得 . 所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 题型1 不含参数的隐零点问题 3 （2）证明：当 时， . 【证明】由（1）得 . 要证 ，即证 ，只需证 . 令 ， 其中 ，则 . 令 ，则 ，所以 在 上单调递增. 因为 ， ，所以存在 ， 使得 ，可得 . 当 时， ，即 ，则 在 上单调递减； 当 时， ，即 ，则 在 上单调递增. 所以 . 所以 ，即 成立. 题型1 不含参数的隐零点问题 4 【归纳总结】隐零点问题的处理思路 第一步：用零点存在定理判断导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取值范围，通过零点方程实施代换，如指数与对数互换，复杂函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是代换可能不止一次. 题型1 不含参数的隐零点问题 5 2.已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； 【解】由已知条件得函数 的定义域为 ， . 因为 , ，所以 ①当 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递增. ②当 时，当 时， ，当 时， ，故 在 上单调 递减，在 上单调递增. 综上所述，当 时， 在 上单调递增;当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 题型1 不含参数的隐零点问题 6 （2）当 时，求证： . 【证明】当 时， ,要证原不等式成立，需证 成 立，即需证 成立.令 ，则 .令 ，则 ，故 在 上单调递增， ， ，由函数零点存在定理可 知，存在 ，使得 ，则在 上 ，在 上 ，即 在 上 ，在 上 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，因此 在 处取得最小值. 由 可得 ，即 ，两边同时取对数得 ， 即 ，因此 的最小值 ，即 成立，故当 时， 成立. 题型1 不含参数的隐零点问题 7 【思路导引】将 的解析式及 的值代入不等式，转化为 ，构造函数 ，利用 的导数分析 的单调性，求出 的最小值， 设函数 在 处取得最小值， 满足 ,通过化简代换，得出最小值为0，从而得 证. 题型1 不含参数的隐零点问题 8 3.[山东济宁2022高二月考] 已知函数 . （1）若曲线 在 处的切线经过点 ，求实数 的值； 【解】 ，所以 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程 为 . 因为切线经过点 ，所以 ,解得 . 题型2 含参数的隐零点问题 9 （2）若对任意 ，都有 （ 为自然对数的底数），求证： . 【证明】不等式 即为 ，设 ，则 ，因为定义域为 ，所以 ， ，所以方程 必有实数解. 设 ，则 .因为 在 上单调递增，所以当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以 . 令 ，则 ,所以 在 上单调递减. 因为 ，所以 ，又易知 在 上单调递增，所以 ，即 . 题型2 含参数的隐零点问题 10 【名师点拨】隐零点问题的基本解题思路是形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数（参数），技巧上反客为主. 题型2 含参数的隐零点问题 11 4.[河南洛阳2023高二月考] 已知函数 . （1）当 时，求 的图象在点 处的切线方程； 【解】当 时， ，所以 ，又 ，所以 ，故 的图象在点 处的切线方程为 ，即 . 题型2 含参数的隐零点问题 12 （2）若不等式 恒成立，求实数 的取值集合. [答案] 由 恒成立得 恒成立.令函数 ，则 . ①当 时， 在区间 上恒成立，此时 在区间 上单调递增，又 ，易知 , ，所以 ，故 不符合题意. 题型2 含参数的隐零点问题 13 ②当 时，由 ，可得 ，即 . 令 ，则 在区间 上恒成立,所以 在区间 上单调递增，又因为 ，所以存在 ，使得 ，两 边