专题2 导数与零点的综合-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修 第二册 XJ 1 2 专题2 导数与零点的综合 刷难关 2 1.[四川绵阳2023高二期中] 已知函数 在 处取得极大值1. （1）求曲线 在 处的切线方程； 题型1 判断零点个数 3 【解】 ，则 ， 由题意可得 解得 即 ， . 令 ，解得 或 ，故 在 , 上单调递增，在 上单调递减. 则 在 处取得极大值1，即 , 符合题意. 因为 , ，则切点坐标为 ，切线斜率 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 . 题型1 判断零点个数 4 （2）判断 的零点个数，并说明理由. [答案] 由（1）得 在 和 上单调递增，在 上单调 递减，又 ， ，且当 时， ，当 时， ，所以函数 的大致图象如 图所示. 由图象可知，函数 有三个零点. 题型1 判断零点个数 5 2.[湖北部分高中联合体2022高二期中联考] 已知函数 . （1）判断函数 的单调性，并求出 的极值； 【解】函数 的定义域为 . ，令 ,解得 ,所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. 所以当 时， 取得极小值 ， 没有极大值. 题型1 判断零点个数 6 （2）设 ，讨论函数 的零点个数. [答案] 根据题意，函数 的零点问题可以转化为直线 与函数 的图象的公共点问题. 由（1）知，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增. 又当 时， ;当 时， ，所以 的大致图象如图所示. 题型1 判断零点个数 7 由图可知，①当 或 时，直线 与函数 的图象有一个公共点，则函数 的零点个数为1. ②当 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，则函数 的零点个数为2. ③当 时，直线 与函数 的图象没有公共点，则函数 的零点个数为0. 题型1 判断零点个数 8 3.[宁夏银川一中2022高二期末] 已知 ， 是函数 的两个 极值点. （1）求 的解析式； 【解】因为 ，所以 ,根据极值点定义，方程 的两个根即为 ， . 因为 ，代入 ， ，可得 解得 经验证符合题意,所以 . 题型2 根据零点个数求参数 9 （2）记 ， ，若函数 有三个零点，求实数 的取值范围. [答案] 根据题意得 ， . 因为 有三个零点，所以方程 在区间 内有三个实数根，即函数 的图象与 直线 在区间 内有三个交点. ，则令 ，解得 ；令 ，解得 或 ，所以函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. 又因为 ， ， ， ，所以函数 在 内的大致 图象如图所示. 若使函数 的图象与直线 在区间 内有三个交点，则需 使 ， 即 , . 题型2 根据零点个数求参数 10 4.已知 （ 为自然对数的底数）. （1）讨论函数 的单调性； 【解】 . 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减，在 上单 调递增. 综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 题型3 证明零点关系 11 （2）若函数 有两个不同的零点 , ，求证： . 【证明】 有两个不同的零点 , ，则 ， ，故 ，即 . 要证 ，只需证 ，即证 . 不妨设 ，记 ， 则 ， ，因此只要证明 ，即 . 记 ， 则 ， 令 ， 则 ，所以函数 在 上单调递增， 则 ，即 ，所以 在 上单调递增， 则 ，即 在 上恒成立，所以 . 题型3 证明零点关系 12 【规律方法】导函数中两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 题型3 证明零点关系 13 $$