专题1 含参函数单调性的分类讨论-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修 第二册 XJ 1 1 专题1 含参函数单调性的分类讨论 刷难关 2 1.[甘肃兰州2023高二月考] 已知函数 ,讨论 的单调性. 【解】因为 ，所以 . 当 时， 恒成立，故 在 上单调递减. 当 时，由 ，得 ；由 ，得 . 故 在 上单调递减，在 上单调递增. 综上，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 题型1 导函数有一个零点 3 【规律方法】对于利用导数讨论含参函数的单调性问题，常见的分类讨论点有以下三个： （1）求导后，考虑 是否有实根，从而引起分类讨论； （2）求导后， 有实根，但不清楚 的实根是否落在定义域内，从而引起分类 讨论； （3）求导后， 有实根，且根落在定义域内，但不清楚这些根的大小关系，从而引起分 类讨论. 在求解导数中含参数的函数单调性问题时，可根据题意选择恰当的分类讨论方法.在具体题中，可 能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，有些题目也可以根据式子和题目的特 点进行灵活处理，减少分类讨论. 题型1 导函数有一个零点 4 2.已知函数 ，讨论函数 的单调性. 【解】因为 ， 所以 . 令 ，解得 或 . 当 时，函数 在 , 上单调递增;在 上单调递减.当 时， ，且不恒为0,函数 在 上单调递增.当 时，函数 在 , 上单调递增;在 上单调递减.综上，当 时，函数 在 , 上单调递增，在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递增； 当 时，函数 在 , 上单调递增，在 上单调递减. 题型2 导函数有两个零点 5 3.[天津武清区2023高二期中] 已知函数 , . （1）讨论函数 的单调性； 题型2 导函数有两个零点 6 【解】 ， ，且 . ①当 时，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. ②当 时，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. ③当 时， ， 为常数函数，不具有单调性. 综上所述,当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 为常数函 数，不具有单调性. 题型2 导函数有两个零点 7 （2）若 的极大值为5，求实数 的值. [答案] 由（1）可得当 时， 在 处取得极大值，但 ，不符合题意；当 时， 在 处取得极大值，所以 ，解得 ，符合题意.综 上可得 . 题型2 导函数有两个零点 8 4.[广东深圳2023高二期中] 已知函数 .讨论 的单调性. 【解】函数 的定义域为 ， . ①当 时，方程 的 ，此时 恒成 立， 在区间 上单调递增； ②当 时， 有两个不等实根，记为 ， ，但 , ，所以 , ，此时 在 上恒成立， 故 在区间 上单调递增； 题型3 导函数不能因式分解 9 ③当 时， 有两个不等实根，记为 ， ，则 ，故当 , 或 , 时， ，当 , 时， ， 所以函数 在区间 和 , 上单调递增， 函数 在区间 , 上单调递减. 综上,当 时， 在区间 上单调递增； 当 时，函数 在区间 , 和 , 上单调递增，在区间 , 上单调递减. 题型3 导函数不能因式分解 10 $$