专题1 空间向量的综合应用-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (苏教版2019)

数学 选择性必修 第二册 SJ 1 1 专题1 空间向量的综合应用 刷难关 2 专题1 空间向量的综合应用 主讲老师 1.[江苏无锡一中2023高二期中] 给出下列命题，其中真命题的个数是( ) ①若直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 ； ②若平面 ， 的法向量分别为 ， ，则 ； ③若平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的一个法 向量，则 ； ④若点 ， ，点 是 关于平面 的对称点，则点 与 的距离为 . C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 向量在位置关系中的应用 4 解析 ① 不存在实数 ，使得 ， 与 不共线，因此 不成立,①是假命题； ② ， ，则 ，因此②是真命题； ③ ， ， 向量 是平面 的一个法向量， ， ，解得 ， ，则 ，因此③是真命题； ④若点 ， ，点 是 关于平面 的对称点，则 ， 点 与 的 距离 ，因此④是真命题. 综上可得真命题的个数是3.故选C. 题型1 向量在位置关系中的应用 5 专题1 空间向量的综合应用 主讲老师 2.[广东深圳2023高二期中] 已知正四棱柱 ， ， ，点 为棱 的中点，点 为底面 上的动点，则下列四个结论中正确的个数为( ) ①当 且点 位于底面 的中心时，四棱锥 外接球的表面积为 ； ②当 时，存在点 满足 ； ③当 时，存在唯一的点 满足 ； ④当 时，满足 的点 的轨迹长度为 . C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 向量在位置关系中的应用 7 解析 对于①，如图①，找到正方形 的中心 ， 为四棱锥 外接球的球心，则 在线段 上.因为四边形 为正方形，所以 ，且 ，则设四棱锥 外接球的半径为 ，则 ，则在 中，可得 ， 解得 ，所以四棱锥 外接球的表面积为 ，①正确； 图① 题型1 向量在位置关系中的应用 8 对于②，由于 ，如图②，建立空间直角坐标系，可得 ， ， ， 为底面 上的动点，可设 ，且 , . 图② 点 关于平面 的对称点为 , ，即 的最小值为 ， 题型1 向量在位置关系中的应用 9 所以不存在点 满足 ，②错误； 对于③， ， ，因为 ，所以当 , 时， ， 此时， ，所以当 时，存在唯一的点 满足 ，③正确； 对于④， ， ，若 ，则有 ，化简得 . 又因为 , ，所以点 的轨迹长度为 ，④正确. 故正确的有①③④.故选C. 题型1 向量在位置关系中的应用 10 专题1 空间向量的综合应用 主讲老师 3.[山东青岛2023高二期中] 如图，在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的 中点，则下列选项不正确的是( ) C A.直线 和 夹角的余弦值为 B.直线 与平面 平行 C.直线 与直线 垂直 D.点 到平面 的距离为 题型1 向量在位置关系中的应用 12 解析 以 为原点, ， ， 所在直线分别为 , , 轴建立空间直角 坐标系, 则 , , , ， ， ， ， ， . 对于A， , , , ， 直线 和 夹角的余弦值为 ,故A正确; 对于B， , ， ， 设平面 的法向量为 , 题型1 向量在位置关系中的应用 13 则 取 ，得平面 的一个法向量 ， , 平面 , 直线 与平面 平行,故B正确; 对于C， , , , 直线 与直线 不垂直,故C错误; 对于D, , 点 到平面 的距离 ,故D正确.故选C. 题型1 向量在位置关系中的应用 14 专题1 空间向量的综合应用 主讲老师 4.如图，正方体 的棱长为1， ， 分别是棱 ， 上的 点，如果 平面 ，则 与 之和为___. 1 解析 以 为坐标原点，分别以 , , 的方向为 轴、 轴、 轴的正 方向,建立空间直角坐标系（图略）.设 , ,则易知 , , , , , 平面 , ,则 . 题型1 向量在位置关系中的应用 16 专题1 空间向量的综合应用 主讲老师 5.如图所示，在直二面角 中，四边形 是边长为2的正方形， ， 为 上的点，且 平面 .