1.3.4 导数的应用举例-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修 第二册 XJ 1 1.3 1.3 导数在研究函数中的应用 2 1.3 1.3.4 导数的应用举例 刷基础 3 1.[甘肃平凉2023高二段考] 将一个边长为 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形， 做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为2，则 的最小值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 面积、容积的最大（小）值问题 4 解析 设截去的小正方形边长为 ,则无盖方盒底边是边长为 的正方形，高为 ， 所以其体积 , , .令 , ， ,则 ,当 时， ， 单调递 增; 当 时, ， 单调递减, 所以 ，所以方盒体积的最大值为 . 若该方盒的体积为2，则 ，解得 ，所以 的最小值为3.故选C. 题型1 面积、容积的最大（小）值问题 5 【规律方法】求函数最值的五种常用方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （4）导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 题型1 面积、容积的最大（小）值问题 6 2.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火 箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是 冯·卡门外形（原始卵形） 圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作整流罩 模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的 高与圆柱高的比为 ，则该模型的体积最大值为( ) C A. B. C. D. 题型1 面积、容积的最大（小）值问题 7 解析 设圆锥的高为 ，则圆柱的高为 ，底面圆半径为 ， 则该模型的体积 . 令 ，则 ，由 得 ， 当 时, ，当 时， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时， ，故选C. 题型1 面积、容积的最大（小）值问题 8 3.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ,下部分的形状是正四棱柱 （如图所示），并要 求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的4倍. （1）若 ， ，则仓库的容积是多少？ 【解】由 知 . 因为 ， 所以正四棱锥 的体积 ； 正四棱柱 的体积 . 所以仓库的容积 . 题型1 面积、容积的最大（小）值问题 9 （2）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当 为多少时，仓库的容积最大？ [答案] 设 ， ，则 ， . 连接 . 因为在 中， ， 所以 ，即 . 仓库的容积 ，其中 ， 令 ， , 从而 . 令 ，得 或 （舍）, 当 时， ，当 时， ， 故当 时， 取得极大值，也是最大值，即 取得最大值. 所以当 时，仓库的容积最大. 题型1 面积、容积的最大（小）值问题 10 4.欲制作一个容积为 的圆柱形蓄水罐（无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 用料最省、费用最低问题 11 解析 设圆柱形蓄水罐的底面半径为 ，高为 ，表面积为 ， 则由题意有 ，所以 . 则蓄水罐的表面积 则 ，令 ，解得 .当 时， ，当 , 时， ，故当 时，表面积取得最小值，即所用的材料最省.故选C. 题型2 用料最省、费用最低问题 12 5.新冠疫情牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉，有一批捐赠物资需要通过轮 船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比， 当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，则当航行1海里 所需的费用总和最小时，轮船的速度是( ) B A.15海里/时 B.20海里/时 C.25海里/时 D.30海里/时 题型2 用料最省、费用最低问题 13 解析 设速度为 海里/时时的燃料费是 元/时， 因为每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，所以可设 ，其中 为比例系数. 因为当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，所以 ， . 设航行1海里所需的总费用为 元， 则每小时所需的总费用是 元