专题1 平面向量的综合应用-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册同步课件 (人教A版2019)

数学 必修 第二册 RJA 1 0 专题1 平面向量的综合应用 刷难关 2 1.[湖北重点高中2023高一联考] 在 中， ， 是 的中点，若 ，则 ( ) C A. B.2 C. D.3 解析 如图， ， 所以 ，故 , ，则 .故选C. 题型1 平面向量基本定理的应用 3 2.（多选）[浙江2022统测] 如图，在四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 与 相交于 ，则下列说法一定正确的是( ) ABC A. B. 在 上的投影向量为0 C. D.若 ，则 题型1 平面向量基本定理的应用 4 解析 在四边形 中，因为 ，所以四边形 为平行四边形. 又 ， ，所以 . 对于A， ，设 . 因为 , , 三点共线，所以 ，解得 ，所以 ，故选项A正确. 对于B，设 与 的夹角为 .因为 ,所以 ，所以 .在 中，因为 ， , ，所以 ，所 以 ，即 ，所以 在 上的投影向量为 ，故选 项B正确. 题型1 平面向量基本定理的应用 5 对于C，由题意， ，故选项C 正确. 对于D， ，则 .若 ，则 ，又因为 ，所以 ，不 满足 ，故选项D不正确.故选 . 题型1 平面向量基本定理的应用 6 3.[山东淄博实验中学2023高一期中] 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的 古老经典.如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代 表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知 正八边形 的边长为 ，点 是正八边形 边上的一点， 则 的最小值是( ) B A. B. C. D.4 题型2 图形中的数量积运算 7 解析 如图，过点 作直线 的垂线 ，垂足为 ， , , . 由平面向量数量积的几何意义可知， 等于 的模与 在 方向上的投 影的数量的乘积， 当点 在线段 上时， 在 方向上的投影的数量 , 取得最小值，不妨取点 在点 上，此时 ， ， ，则 , ， 故 的最小值为 .故选B. 题型2 图形中的数量积运算 8 4.在平行四边形 中， ， 是 的中点，点 在边 上，且 .若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 题型2 图形中的数量积运算 9 解析 如图，结合条件得 ， ，则 .因为 ，即有 ， 所以 ，解得 ，所以 .故选C. 题型2 图形中的数量积运算 10 【归纳总结】用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量是已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法. 题型2 图形中的数量积运算 11 5.[河南许昌、平顶山等九校2022高一质量检测] 在等腰梯形 中， , ， ，点 为 的中点，点 是边 上一个动点，则 的取值范围为_ ________. <m></m> 题型2 图形中的数量积运算 12 解析 如图，取 的中点 ，则 ，故 . 又因为 为梯形 的中位线， 所以 . 过点 ， 作直线 的垂线，垂足分别为 ， . 在 中， ， ，故 ，同理 . 题型2 图形中的数量积运算 13 , 当 位于 点时， 取得最大值，最大值为 , 此时 取到最大值，为 ; 当 位于 点时， 取得最小值，最小值为 , 此时 取到最小值，为 . 故 . 题型2 图形中的数量积运算 14 【思路导引】取 的中点 ，利用向量的运算将 转化为 ， 为定量， 随 的位置变化而变化，作出几何图形结合数量积的几何意义可求得答案. 【名师点拨】最值问题常用的方法有三种：函数、不等式、几何意义.思路分析过程很关键的一点是明确问题中的变量是哪个，本题求范围的目标 转化后得到数量积 ，其中只有点 是动点，可以想到利用其几何意义，即投影向量求范围比较简单. 题型2 图形中的数量积运算 15 6.[山东潍坊2022高一月考] 如图，圆 是边长为4的正方形 的内切圆， 为 圆周上一点，过 作 ， 的垂线，垂足分别为 ，