第1章 专题2 正弦定理、余弦定理的综合应用-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 必修第二册 XJ 1 2 专题2 正弦定理、余弦定理的综合应用 刷难关 2 1.在 中,内角 , , 所对的边分别是 , , .若 , ,则 的面积 是( ) B A.3 B. C. D. 3 解析 由 可得 ,又由余弦定理得 ,所以 ,解得 .则 .故选B. 4 2.（多选）[甘肃酒泉2023高一期末] 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且 ， ， ，下面说法错误的是( ) BC A. B. 是锐角三角形 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 5 解析 在 中， ， ， ，由正弦定理 ，可得 ，所以A正确.因为 ，所以 ，由余弦定理可得 ，因为 ，所以 为钝角，所以 为钝角三角形，所以B 不正确.由 可得 ，所以 外接圆半径 ,所以C不正确. 由余弦定理得 ，可得 ，则 的面积 .设 内切圆的半径为 ，可得 ，解得 ，所以D正确.故选 . 6 3.（多选）[四川成都石室中学2023高一期末] 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 ， ，下列选项正确的是( ) ABD A. B.若 有两解，则 的取值范围是 C.若 为锐角三角形，则 的取值范围是 D.若 为 边上的中点，则 的最大值为3 7 解析 对选项A, ，故 ，故 ，又 ，所以 ，故A正确.对选项B,若 有两解，则 ，即 ，则 ，故B正确.对选项C， 为锐角三角形，则 ， ，故 ，则 ，由 ， 得 ，故C错误. 8 对选项D,若 为 边上的中点，则 ，故 ，由 ，得 ，由基本不等式得 ，故 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，故 ，故D正确. 故选 . 9 4.[江西抚州七校2023高一期中联考] 如图，四边形 的外接圆直径为 ，且 ，则该四边形 周长的最大值为( ) D A.20 B. C. D.30 10 解析 如图，连接 ，设 ， ， ， ， . 由 且 ，得 . 在 中，由正弦定理得 ，解得 . 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ， 即 ，可得 ，当且仅当 时等号成立. 11 在 中， ，由余弦定理可得 ，即 ， 即 ，当且仅当 时等号成立， 所以该四边形 周长的最大值为30. 故选D. 5.如图，在 中，已知点 在 边上， ， ， ， ，则 _ ___. 解析 ， , .在 中，由余弦定理得 ， . 13 6.已知在等腰三角形 中， , ，点 为边 的中点，则 在 上的投影 长为_ _. 解析 如图，由题可知 .设 ，由余弦定理可得 ，解得 . 作 边上的高 ，交 的延长线于点 ，因为 ，所以 ， 所以 ， 由投影向量的几何意义可知，投影长为 . 14 7.[河南商丘实验中学2023高一月考] 某园区有一块三角形空地 （如 图），其中 , , ，现计划在该空地上划分三 个区域种植不同的花卉，若要求 ，则 的最小值为____________ . 15 解析 如图，已知 ，点 在如图所示的圆 上，连接 , . 由圆周角的性质可得 , ， 所以圆 的半径为 . 连接 ， ,可得 ， 所以当 为 与圆的交点时， 取最小值，即 . 又 ，在 中， , , ， 根据余弦定理可知 ， 所以 的最小值为 . 16 8.[福建福州2023高一期末] 已知 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 同 时满足下列四个条件中的三个： ； ； ； . （1）请指出这三个条件，并说明理由； 【解】 同时满足①，③，④.理由如下： 若 同时满足①，②. 因为 ，且 ，所以 . 所以 ，矛盾.所以 同时满足③，④. 所以 ，所以 ，故 不满足②. 故 满足①，③，④. 17 （2）求 的面积. [答案] 因为 ， 所以 ， 解得 或 （舍去）， 所以 的面积 . 18 $$