第1章 专题1 平面向量的综合应用-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 必修第二册 XJ 1 1 专题1 平面向量的综合应用 刷难关 2 1.（多选）如图，在四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 与 相交于 ，则下列说法一定正确的是( ) ABC A. B. 在 上的投影向量为 C. D.若 ，则 题型1 平面向量基本定理的应用 3 解析 在四边形 中，因为 ，所以四边形 为平行四边形.又 ， ，所以 . 对于A， ， 设 . 因为 , , 三点共线，所以 ，解得 ，所以 ，故选项A正确. 对于B，设 与 的夹角为 .因为 ,所以 ，所以 .在 中，因为 ， , ，所以 ，所 以 ，即 ，所以 在 上的投影向量为 ，故选项B正确. 题型1 平面向量基本定理的应用 4 对于C， ，故选项C正确. 对于D， ，则 .若 ，则 ，又因为 ，所以 ，不满足 ， 故选项D不正确.故选 . 题型1 平面向量基本定理的应用 2.[安徽合肥2023高一期中] 如图，在 中，点 , 满足 ， ，点 满足 ， 为 的中点，且 , , 三点共线. （1）用 , 表示 ； 【解】因为 ，则 ，所以 . 因为 为 的中点，所以 . 题型1 平面向量基本定理的应用 6 （2）求 的值. [答案] 因为 ， ， 三点共线，所以 ，所以存在 ，使得 ，即 ， 所以 . 又因为 ，且 ， 不共线，所以 所以 ， 故 . 题型1 平面向量基本定理的应用 7 3.[江苏如东一中、宿迁一中、徐州中学三校2023高一联考] 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， 是线段 上的动点，则 的最小值为( ) B A. B.6 C. D.4 题型2 图形中的数量积运算 8 解析 如图，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 ， . 因为 ， ， 所以 , , ， 所以 , ， ， 则 ， 当 ，即 时， 取得最小值6.故选B. 题型2 图形中的数量积运算 9 4.在平行四边形 中， ， 是 的中点，点 在边 上，且 .若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 题型2 图形中的数量积运算 10 解析 如图，结合条件得 ， ，则 ，解得 ，所以 .故选C. 题型2 图形中的数量积运算 11 【归纳总结】用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基（基中的向量尽量是已知模或夹角），将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法. 题型2 图形中的数量积运算 12 5.[山东青岛二中2023高一期末] 已知正方形 的边长为2， 为对角线的交点，动点 在线 段 上，点 关于点 的对称点为 ，则 的最大值为___. 1 解析 （坐标法）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图的平面直角坐标系，设 ， 则 ， ，所以 ，当且仅当 时取 得最大值. 题型2 图形中的数量积运算 13 【多种解法】由 ，当 时， ，此时 取得最大值1. 题型2 图形中的数量积运算 14 6.[海南海口第一中学2023高一期中] 已知在 中， 是边 的中点，且 ，设 与 交于点 .记 ， . （1）用 ， 表示向量 ， ； 【解】 ， ， . 题型2 图形中的数量积运算 15 （2）若 ，且 ，求 的余弦值. [答案] , , 三点共线， 由 得 ，故 ，即 ， ，解得 ， 的余弦值为 . 题型2 图形中的数量积运算 16 7.已知在 中， ， 分别为边 ， 上一点，且 ， ， 与 交于 .若 ，则 为( ) B A. B. C. D. 题型3 方程思想的应用 17 解析 设 ， ， ， 又 ， 解得 代入得 ，故选B. 题型3 方程思想的应用 18 8.[原创] 在平行四边形 中， ， ，对角线 ，则对角线 的长为_ ___. 解析 设 ， ，则 ， . ，