第1.5节综合训练-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册同步课件 (湘教版2019)

数学 必修第二册 XJ 1 1.5 1.5 向量的数量积 2 1.5 第1.5节综合训练 刷能力 3 1.[甘肃武威2023高一月考] 如图所示的图形中，每一个小正方形网格的边长均为1， 则 ( ) D A. B. C.0 D.4 4 解析 如图，建立平面直角坐标系，因为每一个小正方形网格的边长均为1，所以 , , ， ，则 ， , ，则 .故选D. 5 2.[江西赣州2023高一期中联考] 已知 , , ，且 ，则 的值为( ) A A. B.3 C. D.9 6 解析 由 , , ，得 , ， 因为 ，所以 ，解得 .故选A. 7 3.已知 ， ， ， 的夹角为 .如图所示，若 ， ，且 为 的中点，则 的长度为( ) A A. B. C.7 D.8 8 解析 根据条件得 ， .故选A. 9 【特别注意】已知向量 ,一般地，求向量的模主要利用公式 ,将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式 ,将它转化为实数问题，使问题得以解决. 10 4.如图,在 中， ， 为 的中点， ， ， ，则 ( ) C A. B. C.13 D.15 11 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， . 在 中， ， 又 ，所以 ，即 ， 则 ， . 所以 ， , ，则 ，故选C. 12 5.[广东东莞2023高一检测] 若向量 , ，则向量 在向量 上的投影向量为 ( ) B A. B. C. D. 13 解析 向量 在向量 上的投影向量为 ，故选B. 14 6.[北京人大附中2022高一期末] 在矩形 中， ， ， 为边 的中点， 为边 上的动点，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 15 【思路导引】以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，由平面向量数量积的坐标运算可表示出 ，结合 范围可求得 的取值范围. 16 解析 以 为坐标原点， , 的方向分别为 , 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标 系，则 ， . 设 ， ， ， . ， ，即 的取值范围为 .故选B. 17 7.（多选）[甘肃天水二中2023高一月考] 八卦是中国文化的基本哲学概念，图①是八卦模型图， 其平面图形为图②所示的正八边形 ，其中 ，则下列结论正确的是( ) 图① 图② 18 A. 与 的夹角为 B. C. D. 在 上的投影向量为 （其中 为与 同向的单位向量） √ √ 19 解析 对于A，由正八边形可得 ，则 与 的夹角为 ，故A错误； 对于B，由于四边形 不是平行四边形，所以 ，故B错误； 对于C，易知 是等腰直角三角形，所以 ，又 ， 所以 ，故C正确； 对于D，因为 与 的夹角为 ,所以 在 上的投影向量为 , （其中 为与 同向的单位向量），故D正确.故选 . 20 8.（多选）[安徽滁州九校2023高一期中] 已知向量 ， ，则下列说法正确的是 ( ) AC A.若 ，则 B.若 ，则 C. 的最小值为3 D.当 时， 与 的夹角为钝角 21 解析 若 ，则 ，即 ，故A正确； 若 ，则 ， ， ， ，即 ，故B错误； ， （当 ，即 时取等号），故C正确； 当 时，易得 ，即 与 的夹角为直角，故D错误.故选 . 22 9.（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算 * , ，其中 , 表示 , 的 夹角，则对于两个非零平面向量 , ，下列结论一定成立的有( ) BD A. 在 方向上的投影为 , B. * C. * * D.若 * ，则 与 平行 23 解析 对于选项A， 在 方向上的投影为 , ，故选项A错误； 对于选项B， ，故选项B正确； 对于选项C， , , * , ,当 时， * 不成立，故选项C错误； 由 ，得 , ，所以 , 或 ，即 与 平行，故选项D正确. 24 10.已知 为等边三角形， ， 所在平面内的点 满足