第2题空间中截面最值问题讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第2题 空间中截面最值问题（5月） 【2024届广东省珠海一中高三大湾区预测卷】 在三棱锥中，平面，，点为棱上一点，过点作三棱锥的截面，使截面平行于直线和，当该截面面积取得最大值时，（ ） A．    B．    C．    D． 根据线面平行的性质先推出截面形状，再根据已知判定是等腰直角三角形，设，由二次函数的性质得出截面面积最大时，最后由勾股定理计算即可． 如图所示，设截面为四边形． 截面平行于直线， 截面平行于直线， 又平面，故四边形为矩形，其面积为． 因为， 所以，所以． 又， 所以是等腰直角三角形． 设，则，所以 ，当且仅当时取等号． 故当截面面积最大时，， 在中，由勾股定理得：． 本题选A． （23-24高三下·河南·阶段练习） 1．在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 （2024·四川·一模） 2．设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（    ）． A．M必为三角形 B．M可以是四边形 C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值 根据线面平行的性质得出截面为矩形，由余弦定理得，设，用m表示线段长及截面面积，结合基本不等式求得截面取最值时的m值，从而得出，再根据余弦定理计算即可． 如图所示，设截面为四边形． 截面平行于直线， 截面平行于直线， 又平面，故四边形为矩形，其面积为， ， ． 设， 则，， ， 时取等号，此时． 在中，由余弦定理得： ， 所以．选A． 【题后反思】 1．确定截面的主要依据有 （1）平面的四个公理及推论． （2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质． 2．作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点． （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线． 总评：截面问题的常用解题策略 立体问题的解题策略，主要有代数法及几何法．其中代数法主要包括坐标法、基底法． 1．坐标法．就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标的代数运算．如果遇到直线，主要考虑直线的方向向量；如果遇到平面，主要考虑平面的法向量． 2．基底法．基底法主要是利用平面向量和空间向量的基本定理解决问题．其理论依据是：若四个不同的点共面，为空间任意点，则： ①若不共线，则； ②，且． 3．几何法．平面化是几何法的核心策略，同时也是解决立体几何问题的核心策略．对于截面问题的关键是判断出截面所具有的几何性质，而要获得截面，常见的策略有： ①延长交线得到交点；②作平行线． 判断截面的原理主要有： ①平面的公理及其推论． ②线面平行的性质定理． ③如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． （2022·北京朝阳·一模） 3．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（    ） A． B． C． D． （2023·福建泉州·模拟预测） 4．如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为 .    （23-24高三下·陕西安康·阶段练习） 5．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（    ）    A．对于任意点，平面 B．直线被球截得的弦长为 C．过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为 （23-24高二上·上海·期末） 6．如图，在棱长为10的正方体中，M为棱CD的中点，点P在侧面上，且到与的距离均为3，则过点P且与垂直的平面截正方体所得截面的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 （23-24高三上·河北沧州·阶段练习） 7．已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． （23-24高三上·辽宁·阶段练习） 8．已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 （23-24高二下·上海杨浦·阶段练习） 9．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方