第6题设点or设线解决阿基米德三角形问题 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第6题 设点or设线解决阿基米德三角形问题 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点． （1）求证：； （2）设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值． 先求抛物线方程，设A、B两点坐标，结合抛物线切线方程点参表示切线及直线AB，利用直线AB过焦点得点参关系计算DE，FM即可解决第一问；根据第一问结论，及点到直线的距离公式计算化简，再利用基本不等式计算最值即可. （1）由焦点为得，故抛物线， 设点，则切线的方程分别为、， 易求得． 由直线经过点，可得，则， 所以， ， 故． （2）由于， ， 则， 同理：， 故， ， ， 当且仅当时取等号， 故的最小值为． 1．已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． （2024·全国·模拟预测） 2．已知抛物线的方程为，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作． (1)写出平移过程，并求抛物线的标准方程； (2)已知是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交于点，记，的面积分别为，证明为定值． 设直线方程及A、B坐标，与抛物线方程联立计算切线方程后可得D、E、M坐标，再根据韦达定理可得；利用点到直线的距离公式及点参表示，根据二次函数性质求最值即可. 设，设直线， 联立方程， 则． 切线，故， 两切线的交点坐标为． 从而， ， 故． （2）由于直线， 则， ， 又， 从而， 故当时，有最小值． 3．已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线过点P，交C于A，B两点，且当时，． (1)求C的方程； (2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明． （2024·全国·二模） 4．如图，过点的动直线交抛物线于两点. (1)若，求的方程； (2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由. （2024·云南昆明·一模） 5．已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，． (1)求C的方程； (2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：． （2024·湖北武汉·模拟预测） 6．某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线进行了深人研究．已知点在曲线上，曲线在点处的切线方程为．请同学们研究以下问题，并作答． (1)问题1：过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，点在第一象限． （i）求（为坐标原点）面积的最小值； （ii）曲线在点处的切线分别为，两直线相交于点，证明． (2)问题2：若是曲线上任意两点，过的中点作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值． （2024·江苏苏州·模拟预测） 7．已知点，，和动点满足是，的等差中项． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上． （23-24高二下·重庆·阶段练习） 8．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．    (1)求抛物线的方程； (2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； (3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． （2024·全国·模拟预测） 9．已知直线l：与拋物线E：交于A，B两点，与x轴交于点M，． (1)求抛物线E的标准方程； (2)过A，B分别作拋物线E在A，B处切线的垂线，，若与的交点为P，P到y轴的距离为d，直线，与y轴的交点分别为C，D，且，求直线l的方程． （23-24高三下·重庆·阶段练习） 10．已知抛物线为抛物线上两点，处的切线交于点，过点作抛物线的割线交抛物线于两点，为的中点. (1)若点在抛物线的准线上， （i）求直线的方程（用含的式子表示）； （ii）求面积的取值范围. (2)若直线交抛物线于另一点，试判断并证明直