第11题定高倍角三角形面积取值问题讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第11题 定高倍角三角形面积取值问题 【2024届河北唐山二模T14】锐角△ABC中，C＝2B，BC边上的高为4，则△ABC面积的取值范围为______． 先根据题意求出B的取值范围，根据三角形面积公式、正切二倍角公式及正切函数的性质，计算面积即可. ， （23-24高一下·江苏南京·期中） 1．在中内角的对边分别为，设的面积为，若，则下列命题中错误的是（    ） A．若，且，则有两解 B．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C．若，且，则的外接圆半径为 D．若，则的最大值为 2．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 先根据题意求出B的取值范围，建立平面坐标系，利用点坐标及直线斜率公式消参再根据二次函数性质计算三角形面积. 解：由已知得． 如图所示，建立平面直角坐标系， 设点，则，． 又，． 由得． 又在上单调递增，． 思路：先确定角B的范围，再通过建系建立函数关系，应用单调性确定． 3．如图，在中，若，则面积的最大值为 ． （23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习） 4．在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在，已知，角的平分线把三角形面积分为两部分，则等于（    ） A． B． C． D． 6．若面积为1的满足，则边的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．在中，内角的对边分别是，且边上的高为，若，则当取最小值时，内角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为 A．2 B．4 C． D． （2024·江苏·模拟预测） 9．在中，角所对的边分别为，若分别在边和上，且把的面积分成相等的两部分，则的最小值为 . （2023高三上·全国·竞赛） 10．已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且．若，则的取值范围是 ． （2023·全国·模拟预测） 11．在中，，D为边BC上一点，满足且，则面积的最小值为 ． 12．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b，c，若cosA＝，B＝2A．b＝3，若点M在边BC上，且AM平分∠BAC，则△ABM的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】首先证明题干中的条件等价于，然后逐个选项判断：对于A，直接解出两种可能的情况即可判断A选项正确；对于B，用正弦定理证明，然后求的范围即可判断B选项正确；对于C，求出的三边，然后说明是直角，从而得到，即可判断C选项正确；对于D，直接给出使得的一个满足条件的例子，即可说明D选项错误. 【详解】若，由，可知，即，从而. 若，则. 从而条件等价于. 对于A，若，且，由余弦定理得，即，解得或. 由于当三角形的三边确定后，三角形唯一确定，故只有两种可能. 经验证，的以下两种情况都是可能的： ①，，，，，； ②，，，， ，. 故有两种可能，选项A正确； 对于B，若，且为锐角三角形，由于，而为锐角三角形即，，解得，从而的范围是，故的范围是，选项B正确； 对于C，若，且，则，且，故，从而. 而，故，从而，. 这意味着，，，所以，从而，故，选项C正确； 对于D，若，由于，，故存在使得，，的，此时，，满足条件. 在此情况下，有，故，从而，从而此时，这表明不可能以为最大值，选项D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于灵活运用正弦定理和余弦定理，对条件进行适当转化，以研究需要研究的参数. 2．B 【分析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解. 【详解】由三角形的面积公式知，即 由正弦定理知 所以，即， 即，即 利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得 又，则，，且 由正弦函数的性质可知，满足的有2个， 即满足条件的的个数为2. 故选：B 3．2 【分析】先求得面积的的表达式，再对其求最大值即可解决. 【详解】中，令，则， 又，则有，则 则 又，则，（当且仅当时等号成立） 则面积的最大值为2 故答案为：2 4．D 【分析】利用余弦定理、正弦定理，三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由题意得：，得：， 又，得：， 由余弦定理得：，化简得：， 由正弦定理得: ， 因为：，则：， 又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：， 则：，