第12题数量积与三角恒等变换结合问题 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第12题 数量积与三角恒等变换结合问题 【汇西省赣州市2024届高三上期末T8】已知是圆上两个不同点．若，则的取值范围是（    ） A．    B．    C．    D． 根据数量积的定义得到向量的夹角为，利用圆上点的参数表示坐标，借助三角恒等变换，依托单变量思想实现代数式取值范围的求解． 解：，且． 因为，且， 所以向量的夹角为．如图． 设， 不妨设，则 ， 其中．为负锐角，且为定值． 因为，所以． 故选D． （上海市闵行区2023届高三一模数学试题） 1．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ． （浙江省杭州师大附中2020届高三下学期考前模拟数学试题） 2．已知点，是椭圆两个不同的动点，且满足，则的值是 ． （上海市崇明区2024届高三二模数学试题） 3．已知实数满足：，则的最大值是 ． 根据数量积的定义得到向量的夹角为，利用平面向量的和运算坐标表示，借助三角恒等变换，依托单变量思想实现代数式取值范围的求解． 解：，且． 因为，且， 所以向量的夹角为．如图． 记，则．由于 ， 则，故点在圆上． 不妨设， 则， ， 因为， 所以．故选D． （北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末练习数学试题（二卷）） 4．已知、满足：，，，则代数式的取值范围是 . （2023高三·全国·专题练习） 5．（多选题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧（包含B，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 （上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题） 6．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ． （上海市复旦大学附属中学青浦分校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题） 7．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则的最大值为 . （重庆市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题） 8．已知满足：，则代数式的取值范围是 ． （22-23高一下·辽宁大连·期中） 9．在中，，，，为内任意一点（含边界），且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． （22-23高一下·江苏苏州·阶段练习） 10．正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，，则（    ） A．最大值为 B．最大值为1 C．的最大值为 D．最大值是 （数学奥林匹克高中训练题（152）） 11．已知单位圆上三个点，， 满足 .则 . （22-23高一下·江苏·阶段练习） 12．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．若， E．满足的点有一个 （2024·广东·模拟预测） 13．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（    ）    A． B． C．存在最大值 D．的最大值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】由已知，根据题意，写出圆的参数方程，然后将A、B两点坐标表示成参数方程形式，并根据的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数化简即可求解最大值. 【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数）， 因为、是圆上的两个不同的动点， 可令（），（），且， 所以、， 由可得：， 又因为，所以， 所以 所以，当时，取得最大值. 故答案为：. 2．2 【分析】设，根据题设条件，求得， 不妨设，即可求解. 【详解】由题意，点，是椭圆两个不同的动点， 可设， 则， 所以，所以， 不妨设，则. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及三角函数的性质的应用，着重考查转化思想，以及运算与求解能力. 3．6 【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解. 【详解】因为 故令，且， 因为， 所以， 所以 ，仅当时等号成立. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角换元及三角方程，结合三角函数的性质即可. 4． 【分析】分析可知，、在圆上，且，记，，对、与直线的位置关系进行分类讨论，引入参数表示、，利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的取值范围. 【详解】设、，，，， 故、在圆上， 且，其中为坐标原点， 因为，则， 因为，则是腰长为的等腰三角形，且， （1）当点、在直线的同侧时， 设直线交圆于、两点，如下图所示：    记，，记，则，其中， 则，， 所以， ， 因为，则，所