第13题含绝对值方程根的个数问题讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第13题 含绝对值方程根的个数问题 【温州市普通高中2024届高三第二次适应性考试】 关于的方程的整数根有且仅有两个，则实数的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 先降次变形方程，观察到把换成方程不变，从选项可验证是否符合题意，代入解方程即可． 显然，所以方程化为， 把换成方程不变，排除A、B，观察C、D，只需验证是否符合题意． 当时，， 易知，或． 把看成一个整体，解得，或， 即，或，符合题意．故选C． 先降次变形方程，观察到把换成方程不变，只需考虑即可，利用对勾函数的性质分类讨论去绝对值符号计算验证即可． 显然，所以方程化为 ，① 把换成方程不变，只需考虑即可． 又注意到对勾函数的对称性，只需使方程①有一个正整数根． 讨论：（1）当时， 方程①即为，，无解； （2）当时， 方程①即为，即，恒成立， 要使方程有且只有一个正整数根，由的图象可知只需，即． 所以的取值范围是，故选C． （23-24高一上·天津·期末） 1．若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （22-23高三上·天津南开·阶段练习） 2．已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． （2024·全国·模拟预测） 3．已知两函数与的图象有两个交点，则不满足条件的的值是（    ） A． B． C． D．4 （23-24高一上·江西·阶段练习） 4．已知函数，若函数有3个零点，则满足条件的a的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2023·湖南永州·二模） 5．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象是中心对称图形 B．在区间上单调递增 C．若方程有三个解，，则 D．若方程有四个解，则 （22-23高一上·上海松江·期末） 6．关于函数，给出下列两个结论： ①方程一定有实数解； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. 则（    ） A．①正确，②正确 B．①错误，②错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 （22-23高三上·河南三门峡·期末） 7．已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （22-23高一上·北京·期中） 8．已知函数，下列命题中错误的是（    ） A．，使得是偶函数 B．，都不是R上的单调函数 C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则 9．已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 10．若关于x的方程（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解,则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 12．定义在R上的偶函数满足，且当时，若关于x的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】等价变形给定方程，再分类讨论去绝对值符号，并借助函数的单调性求解即得. 【详解】方程或， （1）当时，原方程等价于或，令函数， 函数在上递增，函数值集合为R，在上递增，函数值集合为R， ①当时，在上递增，，而， 显然，则与各有一个实根， ②当时，或在上各有一个实根， ③当时，在，上递增，显然与在上各有一个实根， 当时，，而，当且仅当时取等号， 当时，，在上方程有一个实根，无实根， 当且时，，在上方程与均无实根， 因此当，时，方程与各有一个实根， 当，时，方程有两个实根，有一个实根， （2）当时，原方程等价于，解方程得或， 显然当时，原方程在上无实根，当时，原方程在上有一个实根， 当时，原方程在上有两个实根和1， 综上，当时，原方程只有两个实根，当时，原方程有3个实根，当时，原方程有4个实根， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 2．A 【分析】分析每一段函数，结合对勾函数和二次函数的性质以及复合函数的单调性作出函数图像即可求解. 【详解】令，当时，函数在区间上单调递减，易得，且存在唯一的实数满足， 当时，由对勾函数的性质可知：在区间上单调递减，在上单调递增， 结合复合函数的单调性可知：函数在上单调递减，在上单调递增； 当且仅当时，函数， 令，解得， 则由二次函数的图像和性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 这里很容易注意到函数，关于直线对称， 则函数的图像关于直线对称，作出函数的图像，如下图所示： 函数有4个零点，