第3题空间距离最值问题讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第3题 空间距离最值问题（5月） 【安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测T14】 已知实数，满足，则的最小值为_________． 根据已知消元将问题式化为双元变量，利用不等式性质分别放缩计算即可． 由已知，则 即，当且仅当时，等号成立．① 设点， 而 ． 即，当且仅当时，等号成立．② 由①②得 当且仅当时，等号成立．所求最小值． 直接利用闵可夫斯基不等式计算即可． 由 Minkowski（闵可夫斯基）不等式可知： ， ， 当时，取等． 补充：闵可夫斯基不等式：设都是正实数，则， 构建空间直角坐标系，角度一、利用正方体，结合平面方程、正方体对称性、三角形三边关系计算距离即可；角度二、先根据条件确定P的轨迹平面，再分别注意取等条件时P的轨迹计算即可；角度三、直接根据空间距离，先确定两式为同一平面内的距离之和，再利用对称点（空间中的将军饮马）计算最值即可． 角度一、 如图，建立空间坐标系，设正方体棱长为2，显然表示平面， 令，过，即过， 由的任意性，沿轴方向平移形成的平面表示， 设为平面上任意一点． 记，， 由空间距离公式易得： ． 角度二、 设平面上的动点， 则所求表达式表示到，的距离之和， 即求的最小值． 如图为阴影部分所示平面上的动点， 故， （点在线段BC上且为中点处取等最小值） 角度三、 目标函数表示四个点与平面上动点之间距离的和． 易知两点在平面上， 它们与平面上动点距离之和的最小值便是这两点间的距离． 我们再求点关于平面的对称点， 首先中点在平面上，所以有， 其次，两点连线与平面垂直，所以连线的方向向量就是平面的一个法向量， 而平面的一个法向量为，从而，联立解得，故所求的对称点为， 设它与点连线交平面于点，则，且， 解得，交点为，此点使得两点与平面上动点距离之和最小， 最小值为与之间的距离， 又恰为的中点，因此就是平面上到四点距离之和最小的点， 所求最小值为． （22-23高二上·浙江温州·期中） 1．若，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 2．我们知道平面直角坐标系内直线的一般式方程为，对此进行类比，可知空间直角坐标系内平面的一般方程为；运用上述知识，已知实数，，满足，则的最小值是 . 3．对于任意实数，，，的最小值为 ． （23-24高三下·安徽·阶段练习） 4．设是以定点为球心半径为的球面，是一个固定平面，到的距离为．设是以点为球心的球面，它与外切并与相切．令A为满足上述条件的球心构成的集合．设平面与平行且在上有A中的点．设是平面与之间的距离．则的最小值为 ． 5．如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的范围是 . 6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点满足．若点在平面ABCD内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为 ；若点在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为 ． 7．已知平面向量中有如下两个结论： 结论1：若、是不共线的两个平面向量，，则A、B、C三点共线的充要条件是； 结论2：若、是不共线的两个平面向量，，若点P在与AB平行的直线上，则（为定值）． 将上述两个结论推广至空间向量（无需写出推广结论）解决以下问题： 已知、、是两两垂直的单位向量，P是空间中一点． (1)若且，求的最小值； (2)若且满足，求动点P的轨迹所围成的区域的体积． 8．如图，已知在四面体中，，，.、分别为、中点.    (1)证明：直线为、的公垂线； (2)求空间内任一点到四面体四个顶点距离和的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用空间中两点之间的距离公式，将代数问题转化为几何问题，从而使得问题得以解决. 【详解】题干中代数式的几何意义是空间中任意一点分别到点、、，的距离之和，如图所示，四边形是一个矩形，    易知， 当点位于矩形的中心时，其距离之和最小， 且最小值为矩形的对角线长之和，而， 所以代数式的最小值为. 故选：C 2． 【分析】设点，，利用空间中两点间距离公式可知所求为，结合三角不等式以及空间中两点间距离公式即可求解 【详解】设点，， 则，， 所以， 而， 当且仅当，时等号成立， 所以所求最小值为， 故答案为：. 3． 【分析】根据题设式子的几何意义去求解问题. 【详解】表示空间中的点与的距离之和，所以最小值即为与的距离，此时在与连线的线段上，故最