第1题双曲线的离心率问题　讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第1题 双曲线的离心率问题（5月） 【2024届华大新高考联盟3月测评14】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，，若点也在双曲线上，则双曲线的离心率为______． 利用平面向量共线的性质及双曲线定义、勾股定理求得关系即可． 由题意：，可得，且， 则设，可得，由第一定义可得 ，故，故； 在中，， 解得或（舍）； 则在中，； 故． （2023届湖南名校联盟5月大联考） 1．如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右两支于两点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． （2023届稽阳4月模拟） 2．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，直线交于点Q，若，则椭圆的离心率是 ． 设，由平面向量共线得坐标关系，根据点在双曲线上解方程可得P、Q横坐标，根据射影定理求得，利用，构造齐次式计算即可． 设，由可得； 将代入双曲线方程可得：， 将代入可得， 结合，可得； 在中，由射影定理可得 ， ； 由，代入可得， 化简可得，解得． （2024·浙江绍兴·二模） 3．已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． （23-24高三下·天津·阶段练习） 4．已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． （2024·浙江台州·二模） 5．设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． （2024·辽宁大连·一模） 6．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． （2024·天津·一模） 7．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （2024·全国·一模） 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．2 （23-24高三下·河南·阶段练习） 9．已知双曲线 的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A，B 两点，且 ，，则该双曲线的离心率为   . （23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习） 10．已知双曲线：的左、右焦点分别为、点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 . （2024·贵州毕节·模拟预测） 11．双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，点是轴上一点，，，则双曲线的离心率为 ． （23-24高三下·浙江宁波·阶段练习） 12．已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 . （23-24高二下·吉林·开学考试） 13．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为 . （2024·辽宁·一模） 14．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与的右支交于点，且点满足，且，则的离心率是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由，可得，连接，设，后分别在，中使用勾股定理可得答案. 【详解】注意到，则，连接． 设，则， 在中，由勾股定理有，解得， ∴， 在中，由，得， 解得． 故选B．    2． 【分析】根据给定条件，结合椭圆定义确定的形状，再借助余弦定理求解作答. 【详解】令，则，由椭圆定义得，，于是， 即，，而，有，则， 因此，令椭圆半焦距为c，在中，由余弦定理得： ，即，， 所以椭圆的离心率． 故答案为： 3．B 【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式即可求解. 【详解】 不妨设，由且轴， 所以，所以， 从而，即， 设点，且它在双曲线上， ， 即，其中，， 从而，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，由此即可顺利得解. 4．B 【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率. 【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，， ∴，且是直角三角形， 设，则， ，代入中，得，即； 设,则，， 由，则，， ∴，则； 又在抛物线上，， 即， 化简得，分子分母同时除以， ，且， ，. 故