考点测试26 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷课件PPT（新教材）

第一部分　考点通关练 第五章　立体几何 考点测试26　基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 高考 概览 本考点是高考常考知识点，题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考点 研读 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图 3．球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式 目录 狂刷小题·基础练 KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN 精做大题·能力练 JING ZUO DA TI NENG LI LIAN 狂刷小题·基础练 KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 一、基础小题 1．下列说法正确的是(　　) A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心 B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　对于A，底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心，比如有一条侧棱和底面垂直的棱锥，故A错误；对于B，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360°时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故B正确；对于C，把两个相同的棱台的底面重合在一起，就不是棱台，故C错误；对于D，由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，才是棱锥，故D错误．故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 解析　对于①，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故①错误；对于②，当球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故②错误；对于③，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故③正确；对于④，因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，所以梯形的直观图不可能是平行四边形，故④错误．故选A. 2．下列说法中正确的有(　　) ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 3.如图，过球O的一条半径OP的中点O1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为eq \r(3)，则球O的体积是(　　) A．eq \f(32π,3) B．eq \f(16π,3) C．32π D．16π 解析　设球O的半径为R，则R2－eq \f(R2,4)＝(eq \r(3))2，解得R＝2，所以球O的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32π,3).故选A. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 4．已知某圆锥的高为1，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \r(3) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \r(2) 解析　如图所示，设圆锥底面圆的半径为r，高为1，母线长为eq \r(r2＋1)，由题意得，2πr＝πeq \r(r2＋1)，即4r2＝1＋r2，故r＝eq \f(\r(3),3).故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 5.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是0.18 m3，那么原正方体石料的体积是(　　) A．0.196 m3 B．0.216 m3 C．0.225 m3 D．0.234 m3 解析　设原正方体石料的棱长为a m．由题意可得a3－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)a×8＝0.18，解得a3＝0.216.所以原正方体石料的体积是0.216 m3.故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 6.如图，某四边形ABCD的直观图是正方形A′B′C′D′，且A′(1，0)，C′(－1，0)，则原四边形ABCD的面积等于(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2) 解析　由题意可知A′(1，0)，C′(－1，0)，即A′C′＝2，故A′B′＝eq \r(2)，所以S正方形A′B′C′D′＝2，则原四边形ABCD的面积为eq \f(2,\f(\r(2),4))＝4eq \r(2).故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 7．圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的表面积为(　　) A.eq \f(32π,3) B.eq \f(64π,3) C．16π D．12π 解析　设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以πR2·2R＝16π，解得R＝2，则球O的表面积为4πR2＝16π.故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为36eq \r(2)π，则它的体积为(　　) A．18eq \r(2)π B．72π C．64eq \r(2)π D．216π 解析　设该直角圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以h＝r，l＝eq \r(2)r.因为直角圆锥的侧面积为36eq \r(2)π，所以πrl＝eq \r(2)πr2＝36eq \r(2)π，解得r＝6，所以该直角圆锥的体积为eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)πr3＝eq \f(1,3)π×63＝72π. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 9．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB＝9 cm，CD＝3 cm，则该青铜器的表面积为(假设上、下底面圆是封闭的)(　　) A．eq \f(（36\r(3)＋81）π,2) cm2 B．(18eq \r(3)＋58)π cm2 C．eq \f(（24\r(3)＋81）π,2) cm2 D．(18eq \r(3)＋36)π cm2 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　因为S圆柱侧＝2π×eq \f(3,2)×2eq \r(3)＝6eq \r(3)π cm2，S圆台组合体侧＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\f(9,2)))×eq \r(（3\r(3)）2＋32)＋π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\f(9,2)))×eq \r(（\r(3)）2＋32)＝(36＋12eq \r(3))π cm2，所以该青铜器的表面积S＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)＋πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)＋(36＋12eq \r(3))π＋6eq \r(3)π＝eq \f(（36\r(3)＋81）π,2) cm2.故选A. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 10．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　) A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,2) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，则△BHC中BC边上的高h＝eq \f(\r(2),2).∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，∴V多面体ABCDEF＝VE－AGD＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－AGD＋VAGD－BHC＝2×eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3). 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 11.(多选)如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法中正确的是(　　) A．水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积不改变 C．棱A1D1始终与水面EFGH平行 D．当E∈AA1时，AE＋BF是定值 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故A正确；容器倾斜时，EF的长度变化，FG的长度不变，所以水面四边形EFGH的面积变化，故B不正确；由于A1D1∥EH，所以棱A1D1始终与水面EFGH平行，故C正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故D正确． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 12．(多选)已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M，N，若线段MN的最小值为eq \r(6)，则(　　) A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为6π C．正四面体的外接球的体积为8eq \r(6)π D．线段MN的最大值为2eq \r(6) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　设这个正四面体的棱长为a，则此正四面体可看作棱长为eq \f(\r(2),2)a的正方体截得的，所以正四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球的直径为正方体的体对角线长，设外接球的半径为R，内切球的半径为r，则2R＝eq \r(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2)a，所以R＝eq \f(\r(6),4)a，正四面体的高h＝eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),3)a，由等体积法可得eq \f(1,3)Sh＝4×eq \f(1,3)Sr， 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 所以r＝eq \f(1,4)h＝eq \f(\r(6),12)a，由题意得R－r＝eq \r(6)，所以eq \f(\r(6),4)a－eq \f(\r(6),12)a＝eq \r(6)，解得a＝6，所以A正确；因为内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)×6＝eq \f(\r(6),2)，所以内切球的表面积为4πr2＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2))) eq \s\up12(2)＝6π，所以B正确；因为外接球的半径为R＝eq \f(\r(6),4)×6＝eq \f(3\r(6),2)，所以外接球的体积为eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(6),2))) eq \s\up12(3)＝27eq \r(6)π，所以C错误；线段MN的最大值为R＋r＝eq \f(3\r(6),2)＋eq \f(\r(6),2)＝2eq \r(6)，所以D正确．故选ABD. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 二、高考小题 13．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为eq \r(3)，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于eq \f(9\r(3),4)，则该圆锥的体积为(　　) A．π B.eq \r(6)π C．3π D．3eq \r(6)π 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝eq \r(3)，取AB的中点C，连接OC，PC，则OC⊥AB，PC⊥AB，如图，∠ABO＝30°，OC＝eq \f(\r(3),2)，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积等于eq \f(9\r(3),4)，得eq \f(1,2)×3×PC＝eq \f(9\r(3),4)，解得PC＝eq \f(3\r(3),2)，于是PO＝eq \r(PC2－OC2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \r(6)，所以圆锥的体积V＝eq \f(1,3)π×OA2×PO＝eq \f(1,3)π×(eq \r(3))2×eq \r(6)＝eq \r(6)π.故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 解析　取AB的中点E，连接PE，CE，如图，∵△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，∴PE＝CE＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，又PC＝eq \r(6)，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，又AB∩CE＝E，AB，CE⊂平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·PE＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.故选A. 14．(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq \r(6)，则该棱锥的体积为(　　) A．1 B.eq \r(3) C．2 D．3 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 15．(2023·天津高考)在三棱锥P－ABC中，线段PC上的点M满足PM＝eq \f(1,3)PC，线段PB上的点N满足PN＝eq \f(2,3)PB，则三棱锥P－AMN和三棱锥P－ABC的体积之比为(　　) A．eq \f(1,9) B．eq \f(2,9) C．eq \f(1,3) D．eq \f(4,9) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　如图，因为PM＝eq \f(1,3)PC，PN＝eq \f(2,3)PB，所以eq \f(S△PMN,S△PBC)＝eq \f(\f(1,2)PM·PNsin∠BPC,\f(1,2)PC·PBsin∠BPC)＝eq \f(PM·PN,PC·PB)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，所以eq \f(VP－AMN,VP－ABC)＝eq \f(VA－PMN,VA－PBC)＝eq \f(\f(1,3)S△PMN·d,\f(1,3)S△PBC·d)＝eq \f(S△PMN,S△PBC)＝eq \f(2,9)(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 16．(2023·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为(　　) A．2eq \r(2) B．3eq \r(2) C．4eq \r(2) D．5eq \r(2) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　解法一：连接AC，BD交于点O，连接PO，则O为AC，BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB＝4，所以AC＝BD＝4eq \r(2)，则DO＝CO＝2eq \r(2)，又PC＝PD＝3，PO为公共边，所以△PDO≌△PCO，则∠PDO＝∠PCO，又PC＝PD＝3，AC＝BD＝4eq \r(2)，所以△PDB≌△PCA，则PA＝PB.在△PAC中，PC＝3，AC＝4eq \r(2)，∠PCA＝45°，则由余弦定理可得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos∠PCA＝32＋9－2×4eq \r(2)×3×eq \f(\r(2),2)＝17，故PA＝eq \r(17)，则PB＝eq \r(17)，故在△PBC中，PC＝3，PB＝eq \r(17)，BC＝4，所以cos∠PCB＝eq \f(PC2＋BC2－PB2,2PC·BC)＝eq \f(9＋16－17,2×3×4)＝eq \f(1,3)，又0＜∠PCB＜π，所以sin∠PCB＝eq \r(1－cos2∠PCB)＝eq \f(2\r(2),3)，所以△PBC的面积为S＝eq \f(1,2)PC·BCsin∠PCB＝eq \f(1,2)×3×4×eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(2).故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解法二：连接AC，BD交于点O，连接PO，则O为AC，BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB＝4，所以AC＝BD＝4eq \r(2).在△PAC中，PC＝3，∠PCA＝45°，则由余弦定理可得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos∠PCA＝32＋9－2×4eq \r(2)×3×eq \f(\r(2),2)＝17，故PA＝eq \r(17)，所以cos∠APC＝eq \f(PA2＋PC2－AC2,2PA·PC)＝eq \f(17＋9－32,2×\r(17)×3)＝－eq \f(\r(17),17)，则eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝|eq \o(PA,\s\up16(→))||eq \o(PC,\s\up16(→))|cos∠APC＝eq \r(17)×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(17),17)))＝－3.不妨记PB＝m，∠BPD＝θ，因为eq \o(PO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→)))，所以(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))2＝(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→)))2，即eq \o(PA,\s\up16(→))2＋eq \o(PC,\s\up16(→))2＋2eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))2 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * ＋eq \o(PD,\s\up16(→))2＋2eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PD,\s\up16(→))，则17＋9＋2×(－3)＝m2＋9＋2×3×mcosθ，整理得m2＋6mcosθ－11＝0　①.又在△PBD中，BD2＝PB2＋PD2－2PB·PDcos∠BPD，即32＝m2＋9－6mcosθ，则m2－6mcosθ－23＝0　②，两式相加得2m2－34＝0，故PB＝m＝eq \r(17)，故在△PBC中，PC＝3，PB＝eq \r(17)，BC＝4，所以cos∠PCB＝eq \f(PC2＋BC2－PB2,2PC·BC)＝eq \f(9＋16－17,2×3×4)＝eq \f(1,3)，又0＜∠PCB＜π，所以sin∠PCB＝eq \r(1－cos2∠PCB)＝eq \f(2\r(2),3)，所以△PBC的面积为S＝eq \f(1,2)PC·BCsin∠PCB＝eq \f(1,2)×3×4×eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(2).故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 17．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4eq \r(3)π C．AC＝2eq \r(2) D．△PAC的面积为eq \r(3) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝eq \r(3)，对于A，圆锥的体积为eq \f(1,3)×π×(eq \r(3))2×1＝π，A正确；对于B，圆锥的侧面积为π×eq \r(3)×2＝2eq \r(3)π，B错误；对于C，设D是AC的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，故AD＝CD＝eq \r(3－1)＝eq \r(2)，则AC＝2eq \r(2)，C正确；对于D，PD＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以S△PAC＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(2)＝2，D错误．故选AC. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 18．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　　) A．直径为0.99 m的球体 B．所有棱长均为1.4 m的四面体 C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　对于A，因为0.99 m<1 m，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A符合题意；对于B，因为正方体的面对角线长为eq \r(2) m，且eq \r(2)>1.4，所以能够被整体放入正方体内，故B符合题意；对于C，因为正方体的体对角线长为eq \r(3) m，且eq \r(3)<1.8，所以不能够被整体放入正方体内，故C不符合题意；对于D，因为1.2 m>1 m，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过AC1的中点O作OE⊥AC1，设OE∩AC＝E，可知AC＝eq \r(2)，CC1＝1，AC1＝eq \r(3)，OA＝eq \f(\r(3),2)，则tan∠CAC1＝eq \f(CC1,AC)＝eq \f(OE,AO)，即eq \f(1,\r(2))＝eq \f(OE,\f(\r(3),2))，解得OE＝eq \f(\r(6),4)，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4))) eq \s\up12(2)＝eq \f(3,8)＝eq \f(9,24)>eq \f(9,25)＝0.62，即eq \f(\r(6),4)>0.6，故以AC1为轴可能对称放置底面直径为1.2 m的圆柱， 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 若底面直径为1.2 m的圆柱与正方体的上、下底面均相切，设圆柱的底面圆心O1与正方体的下底面的切点为M，可知AC1⊥O1M，O1M＝0.6，则tan∠CAC1＝eq \f(CC1,AC)＝eq \f(O1M,AO1)，即eq \f(1,\r(2))＝eq \f(0.6,AO1)，解得AO1＝0.6eq \r(2)，根据对称性可知，圆柱的高为eq \r(3)－2×0.6eq \r(2)≈1.732－1.2×1.414＝0.0352>0.01，所以能够被整体放入正方体内，故D符合题意．故选ABD. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 19．(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则该棱台的体积为________． eq \f(7\r(6),6) 解析　如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高．因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则A1O1＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)×eq \r(2)A1B1＝eq \f(\r(2),2)，AO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)AB＝eq \r(2)，故AM＝AO－A1O1＝eq \f(\r(2),2)，则A1M＝eq \r(A1A2－AM2)＝eq \r(2－\f(1,2))＝eq \f(\r(6),2)，所以所求棱台的体积V＝eq \f(1,3)×(4＋1＋eq \r(4×1))×eq \f(\r(6),2)＝eq \f(7\r(6),6). 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 28 答案 解析 * 解析　解法一：由于eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为eq \f(1,3)×(4×4)×6＝32，截去的正四棱锥的体积为eq \f(1,3)×(2×2)×3＝4，所以棱台的体积为32－4＝28. 解法二：棱台的体积为eq \f(1,3)×3×(16＋4＋eq \r(16×4))＝28. 20．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 12 答案 解析 * 解析　不妨设正方体的棱长为2，EF的中点为O，取AB，BB1的中点G，M，侧面BB1C1C的中心为N，连接FG，EG，OM，ON，MN，如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF＝eq \r(FG2＋EG2)＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，即R＝eq \r(2)，则球心O到BB1的距离为OM＝eq \r(ON2＋MN2)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，球面与其余各棱也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 21．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为________． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 解析　设球的半径为R.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC1＝eq \r(42＋42＋42)＝4eq \r(3)，即2R′＝4eq \r(3)，R′＝2eq \r(3)，故Rmax＝2eq \r(3).分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH对角线的交点，连接MG，则MG＝4eq \r(2)，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，球的半径达到最小，即Rmin＝2eq \r(2).综上，R的取值范围为[2eq \r(2)，2eq \r(3)]． 22．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是______________． [2eq \r(2)，2eq \r(3)] 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 三、模拟小题 23.(2023·广西柳州柳南区二模)如图，ABC－A1B1C1是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则此棱台的高为(　　) A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(3\r(3),2) C.eq \r(6) D.eq \r(3) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥P－A1B1C1的棱长都是3；如图2，点P在底面A1B1C1的射影是底面三角形的中心，高PO＝eq \r(32－（\r(3)）2)＝eq \r(6)，所以根据相似关系可知，三棱台的高也是eq \r(6).故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 24．(2023·天津武清杨村第一中学校考模拟预测)乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑料积木，由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体．某乐高拼插组件为底面边长为3 cm、高为4 cm的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的圆心、直径为2 cm、高为4 cm的圆柱，则该组件的体积为(单位：cm3)(　　) A．48－8π B．36－6π C．16－4π D．36－4π 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　因为正四棱柱的底面边长为3 cm、高为4 cm，所以正四棱柱的体积为V1＝Sh＝3×3×4＝36 cm3，又挖去的圆柱的直径为2 cm、高为4 cm，所以圆柱的体积为V2＝Sh＝4π cm3，故所求几何体的体积为V＝V1－V2＝(36－4π) cm3.故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 25.(2023·湖南长沙高三校联考阶段练习)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该“朗读亭”的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为(　　) A．eq \f(\r(7),8) B．eq \f(\r(43),24) C．eq \f(1,9) D．eq \f(1,27) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　设正六边形的边长为a，由题意，得正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为eq \f(2,3)a，正六棱锥的母线长为eq \f(\r(13),3)a，正六棱锥的侧面积S1＝6×eq \f(1,2)aeq \r(\f(13,9)a2－\f(1,4)a2)＝eq \f(\r(43),2)a2，正六棱柱的侧面积S2＝6·a·2a＝12a2，所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(43),24).故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 26．(2023·内蒙古呼和浩特统考一模)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6 cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为(　　) A．eq \f(3\r(6),2) cm B．eq \f(3\r(6),4) cm C．2eq \r(6) cm D．3eq \r(6) cm 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　如图，A－BCD是棱长为6 cm的正四面体，由题意，AD＝BD＝DC＝6 cm，设BC的中点为M，底面△BCD的重心为G，O为外接球的球心，则有AG⊥底面BCD，MD＝eq \f(\r(3),2)DC＝3eq \r(3)，CG＝DG＝eq \f(2,3)MD＝2eq \r(3)，OA＝OC＝R，R是外接球的半径，在Rt△AGD中，GA＝eq \r(AD2－DG2)＝2eq \r(6)，在Rt△OGC中，OG＝eq \r(OC2－GC2)＝eq \r(R2－12)，OG＋OA＝GA，∴eq \r(R2－12)＋R＝2eq \r(6)，解得R＝eq \f(3\r(6),2) cm，即正方体的最短棱长为2R＝3eq \r(6) cm.故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 27.(多选)(2023·河北唐山一中模拟)中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为4eq \r(21) m，侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，则下列结论正确的是(　　) A．正四棱锥的底面边长为24 m B．正四棱锥的高为4eq \r(3) m C．正四棱锥的体积为768eq \r(3) m3 D．正四棱锥的侧面积为96eq \r(3) m2 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　如图，在正四棱锥P－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，PH⊥AB，则H为AB的中点，连接PO，OH，AO，则PO⊥平面ABCD，OH⊥AB，则∠PHO为侧面与底面所成的锐二面角的平面角，即∠PHO＝30°.设底面边长为2a，则OH＝a，OP＝eq \f(\r(3),3)a，PH＝eq \f(2\r(3),3)a.在Rt△PAH中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a)) eq \s\up12(2)＝(4eq \r(21))2，解得a＝12，故底面边长为24 m，正四棱锥的高为eq \f(\r(3),3)×12＝4eq \r(3) m，侧面积为S＝4×eq \f(1,2)×24×eq \f(2\r(3),3)×12＝384eq \r(3) m2，体积V＝eq \f(1,3)×24×24×4eq \r(3)＝768eq \r(3) m3.故选ABC. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 * 28.(多选)(2023·山东部分学校三模)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，则(　　) A．该圆台的高为1 cm B．该圆台轴截面的面积为3eq \r(3) cm2 C．该圆台的体积为eq \f(7\r(3)π,3) cm3 D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 cm 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 解析　如图1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝eq \f(CD－AB,2)＝1 cm，则BE＝eq \r(22－12)＝eq \r(3) cm，故圆台的高为eq \r(3) cm，A错误；圆台轴截面的面积为eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(3)＝3eq \r(3) cm2，B正确；圆台的体积为eq \f(1,3)×eq \r(3)×(π＋4π＋eq \r(π×4π))＝eq \f(7\r(3)π,3) cm3，C正确； 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解析 * 将圆台一半侧面展开，如图2中ABCD，设P为AD的中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由CD＝2AB，可得BC＝OB＝2 cm，则OC＝4 cm，∠COD＝eq \f(\f(4π,2),4)＝eq \f(π,2)，又OP＝OA＋eq \f(AD,2)＝3 cm，则CP＝eq \r(42＋32)＝5 cm，即点C到AD的中点所经过的最短路程为5 cm，D正确．故选BCD. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2π 答案 解析 * 29．(2024·福建福清一中高三月考)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为eq \f(4π,3)的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为________． 解析　设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，则由题意知，V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4π,3)，解得R＝1.又圆柱的两个底面的圆周在体积为eq \f(4π,3)的球O的球面上，则圆柱的两个底面圆的圆心关于球心对称，且r2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2))) eq \s\up12(2)＝R2＝1，则圆柱的侧面积S＝2πrl，l>0，因为r2＋eq \f(l2,4)≥2r×eq \f(l,2)＝rl，当且仅当r＝eq \f(l,2)，即r＝eq \f(\r(2),2)，l＝eq \r(2)时，等号成立，所以rl≤1，S＝2πrl≤2π. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解析 * 30．(2023·广东华南师大附中期末)已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝eq \f(π,3)，将△ADC沿AC翻折，当三棱锥D－ABC的表面积最大时，其内切球的表面积为_____________． (14－8eq \r(3))π 解析　因为菱形ABCD的四条边相等，对角线互相垂直，所以在三棱锥D－ABC中，平面ADC与平面ABC的面积是确定的，所以要使三棱锥D－ABC的表面积最大，则需要平面DBC与平面DAB的面积最大即可，而且S△DBC＝S△DAB，S△DBC＝eq \f(1,2)DC·BCsin∠DCB，当∠DCB＝eq \f(π,2)时， 目录 精做大题 1 2 解析 * S△DBC取得最大值．过点D向平面ABC作垂线，设AC的中点为E，垂足为D′，因为DB＝eq \r(BC2＋CD2)＝eq \r(2)，EB＝ED＝eq \f(\r(3),2)，所以由余弦定理知cos∠BED＝－eq \f(1,3)，所以sin∠DED′＝eq \f(2\r(2),3)，易得DD′＝eq \f(\r(6),3)，所以VD－ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(2),12).因为S△DAB＝S△DBC＝eq \f(1,2)，S△ABC＝S△ADC＝eq \f(\r(3),4).设内切球的半径为r，则根据等体积法，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×r))×2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(\r(3),4)×r))×2＝eq \f(\r(2),12)，即eq \f(r,3)＋eq \f(\r(3)r,6)＝eq \f(\r(2),12)，解得r＝eq \f(\r(2),4＋2\r(3))，所以其内切球的表面积S＝4πr2＝4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4＋2\r(3)))) eq \s\up12(2)＝(14－8eq \r(3))π. 精做大题·能力练 JING ZUO DA TI NENG LI LIAN 目录 精做大题 1 2 解 * 解　连接OF，设AF＝tAC， 则eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→)) ＝(1－t)eq \o(BA,\s\up16(→))＋teq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(AO,\s\up16(→))＝－eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))，BF⊥AO， 则eq \o(BF,\s\up16(→))·eq \o(AO,\s\up16(→))＝[(1－t)eq \o(BA,\s\up16(→))＋teq \o(BC,\s\up16(→))]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(BA,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up16(→))))＝(t－1)eq \o(BA,\s\up16(→))2＋eq \f(1,2)teq \o(BC,\s\up16(→))2＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝eq \f(1,2)，则F为AC的中点，于是OF∥AB， 一、高考大题 1.(2023·全国乙卷节选)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq \r(2)，PB＝PC＝eq \r(6)，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积． 目录 精做大题 1 2 解 * 过P作PM⊥FO， 且与FO的延长线交于点M， 因为PB＝PC，O是BC的中点， 所以PO⊥BC. 在Rt△PBO中，PB＝eq \r(6)，BO＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(2)， 所以PO＝eq \r(PB2－OB2)＝eq \r(6－2)＝2， 因为AB⊥BC，OF∥AB， 所以OF⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF， 所以BC⊥平面POF， 又PM⊂平面POF， 所以BC⊥PM， 目录 精做大题 1 2 解 * 又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC， 所以PM⊥平面ABC， 即三棱锥P－ABC的高为PM， 因为∠POF＝120°， 所以∠POM＝60°， 所以PM＝POsin60°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)， 又S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2)， 所以VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·PM＝eq \f(1,3)×2eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \f(2\r(6),3). 目录 精做大题 1 2 解 * 解　(1)设DQ＝x，CQ＝y，则x2＋y2＝4， 三棱锥P－DCQ的体积V＝eq \f(1,3)S△DCQ·hP(hP为点P到底面DCQ的距离)， hP＝AD＝2，S△DCQ＝eq \f(1,2)xy≤eq \f(1,4)(x2＋y2)＝1，当且仅当x＝y＝eq \r(2)时等号成立， 所以V≤eq \f(1,3)×1×2＝eq \f(2,3)， 故三棱锥P－DCQ体积的最大值为eq \f(2,3). 二、模拟大题 2.(2023·福建省泉州五中高三模拟)如图，圆柱OO1中，AB，DC分别为圆O、圆O1的直径，AD为母线，AB＝AD＝2，点P在上底面的圆O内，点Q在弧DC上． (1)求三棱锥P－DCQ体积的最大值； (2)求三棱锥P－DCQ外接球的体积的最小值． 目录 精做大题 1 2 解 * (2)易知三棱锥P－DCQ外接球的球心M在线段OO1上． 设球M的半径为R， MO1＝m，OP＝t(0≤t<1)， 在Rt△MO1C中， MC2＝MOeq \o\al(2,1)＋COeq \o\al(2,1)， 即R2＝m2＋1； 在Rt△MOP中，MP2＝MO2＋OP2， 目录 精做大题 1 2 解 * 即R2＝(2－m)2＋t2. 联立两式，可得4m－3＝t2， 又因为0≤t<1， 所以0≤4m－3<1，eq \f(3,4)≤m<1，eq \f(25,16)≤R2<2. 故当m＝eq \f(3,4)时，R取得最小值eq \f(5,4)， 三棱锥P－DCQ外接球的体积取得最小值eq \f(125π,48). 　　　　　　　　　　　　　 R $$