考点测试20 任意角和弧度制、任意角的三角函数-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷课件PPT（新教材）

第一部分　考点通关练 第四章　三角函数与解三角形 考点测试20　任意角和弧度制、任意角的三角函数 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低等难度 考点 研读 1.了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 目录 狂刷小题·基础练 KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN 精做大题·能力练 JING ZUO DA TI NENG LI LIAN 狂刷小题·基础练 KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 一、基础小题 1.扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16 cm，圆心角为eq \f(3π,4)，则这把扇子的弧长为(　　) A．6π cm B．12π cm C．18π cm D．24π cm 解析　因为扇形的半径为16 cm，圆心角为eq \f(3π,4)，所以弧长为eq \f(3π,4)×16＝12π cm.故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 2．已知钝角α的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(π,6)))，则α＝(　　) A.eq \f(2π,3) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(7π,8) 解析　由题意得，钝角α的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以tanα＝－1，所以α＝eq \f(3π,4). 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 3．若角α与角β的终边关于y轴对称，则(　　) A．α＋β＝π＋kπ(k∈Z) B．α＋β＝π＋2kπ(k∈Z) C．α＋β＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z) D．α＋β＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z) 解析　∵π－α是与α关于y轴对称的一个角，∴β与π－α的终边相同，即β＝2kπ＋(π－α)(k∈Z)，∴α＋β＝α＋2kπ＋(π－α)＝(2k＋1)π(k∈Z)．故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 4．已知α是第二象限角，P(x，eq \r(5))为其终边上一点，且cosα＝eq \f(\r(2),4)x，则x的值为(　　) A.eq \r(3) B．±eq \r(3) C．－eq \r(2) D．－eq \r(3) 解析　∵cosα＝eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2),4)x，∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3.∵α是第二象限角，∴x＝－eq \r(3).故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 5．一个钟表的分针长为10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是(　　) A.eq \f(35π,3) B.eq \f(175π,3) C．105π D.eq \f(175π,6) 解析　经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格30°，则分针走过的度数为7×30°＝210°，因为钟表的分针长为10，所以分针扫过图形的面积是eq \f(210,360)×π×102＝eq \f(175π,3).故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 6．若角α满足sinαcosα<0，cosα－sinα<0，则α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　∵sinαcosα<0，∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，cosα<0，sinα>0，满足cosα－sinα<0；当α是第四象限角时，cosα>0，sinα<0，则cosα－sinα>0，不符合题意．综上所述，α是第二象限角． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 7．圆心角相同的两个扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形的周长之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶eq \r(2) D．1∶8 解析　设两扇形的半径分别为r1，r2，面积分别为S1，S2，由扇形面积公式S＝eq \f(1,2)αr2得eq \f(S1,S2)＝2,1)eq \f(\f(1,2)αr,\f(1,2)αreq \o\al(2,2)) ＝2,1)eq \f(r,req \o\al(2,2)) ＝eq \f(1,2)，得eq \f(r1,r2)＝eq \f(1,\r(2))，则两个扇形的周长之比为eq \f(2r1＋αr1,2r2＋αr2)＝eq \f(1,\r(2)).故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 8．已知角α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq \f(sinθ,|sinθ|)＋eq \f(cosθ,|cosθ|)＋eq \f(tanθ,|tanθ|)的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析　由α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 * 9．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．若0<α<eq \f(π,2)，则sinα<tanα B．若α是第二象限角，则eq \f(α,2)为第一象限或第三象限角 C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝eq \f(4,5) D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析 * 解析　若0<α<eq \f(π,2)，则sinα<eq \f(sinα,cosα)＝tanα，A正确；若α是第二象限角，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))，k∈Z，则eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，eq \f(α,2)为第一象限或第三象限角，B正确；若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝eq \f(4k,\r(9k2＋16k2))＝eq \f(4k,5|k|)，不一定等于eq \f(4,5)，C错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，其圆心角的大小为eq \f(2,2)＝1弧度，D正确．故选ABD. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq \f(1,3)，则sinβ＝________． 解析　由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sinα＝eq \f(1,3)，∴sinβ＝sin[(2k＋1)π－α]＝sinα＝eq \f(1,3)(k∈Z)． eq \f(1,3) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二 答案 解析 * 11．角α是第四象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角． 解析　由角α是第四象限角，可得2kπ－eq \f(π,2)＜α＜2kπ，k∈Z，∴kπ－eq \f(π,4)＜eq \f(α,2)＜kπ，k∈Z，∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq \f(α,2)，∴coseq \f(α,2)＜0，∴2kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，∴2kπ＋eq \f(3π,4)＜eq \f(α,2)＜2kπ＋π，k∈Z，∴eq \f(α,2)是第二象限角． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 4sin1 答案 解析 * 12．已知扇形AOB的周长为8，在这个扇形的面积取得最大值时，其对应的圆心角的大小为________，弦长AB为________． 解析　设半径为r，弧AB的长为l，圆心角为α，则l＝8－2r，扇形面积S＝eq \f(1,2)lr＝(4－r)r＝－r2＋4r，利用二次函数性质可得，当且仅当r＝2时S取得最大值，此时l＝4，所以α＝eq \f(l,r)＝2，由垂径定理得AB＝2rsineq \f(α,2)＝4sin1. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 二、高考小题 13．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 解析　当α＝－eq \f(π,3)时，cos2α＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＜0，A错误；当α＝－eq \f(π,6)时，cos2α＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＞0，B错误；由α为第四象限角可得sinα＜0，cosα＞0，则sin2α＝2sinαcosα＜0，C错误，D正确．故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 * 14．(2020·北京高考)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　　) A．3neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n))) B．6neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n))) C．3neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n))) D．6neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n))) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析 * 解析　单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为eq \f(360°,6n)＝eq \f(60°,n)，每条边长为2sineq \f(30°,n)，所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsineq \f(30°,n).单位圆的外切正6n边形的每条边长为2taneq \f(30°,n)，其周长为12ntaneq \f(30°,n)，所以2π＝eq \f(12nsin\f(30°,n)＋12ntan\f(30°,n),2)＝6neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))，则π＝3neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n))).故选A. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 三、模拟小题 15．(2023·福建泉州月考)若A＝{θ|θ＝k·360°，k∈Z}，B＝{θ|θ＝k·180°，k∈Z}，C＝{θ|θ＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是(　　) A．A＝B＝C B．A⊆B⊆C C．A⊆B＝C D．C⊆B⊆A 解析　集合A的元素表示终边落在x轴非负半轴上的所有角，集合B的元素表示终边落在x轴上的所有角，集合C的元素表示终边落在x轴和y轴上的所有角．故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 * 16．(2023·安徽滁州金阳光高级中学月考)在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，则角α的最小正值为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(11π,6) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析 * 解析　因为sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，coseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，所以角α的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，所以角α是第四象限角，tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝－eq \f(\r(3),3)，所以α＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，则角α的最小正值为eq \f(11π,6).故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 17．(2023·河南部分学校高三仿真适应测试)已知α是第二象限角，则点(cos(sinα)，sin(cosα))所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为α是第二象限角，所以0<sinα<1，－1<cosα<0，所以cos(sinα)>0，sin(cosα)<0，所以点(cos(sinα)，sin(cosα))在第四象限．故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 * 18．(2023·福州一中高三三模)为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离．如图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进(车身始终保持与地面垂直)，直到前轮与点B接触．经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方(以如图为观察视角)，且到地面的垂直高度为0.45 m．已知前轮的半径为0.3 m，则A，B两点之间的距离约为(参考数值：π≈3.14)(　　) A．20.10 m B．19.94 m C．19.63 m D．19.47 m 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析 * 解析　由题意知，前轮转动了eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(1,3)))圈，所以A，B两点之间的距离为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(1,3)))×2π×0.3＝6.2π≈6.2×3.14≈19.47 m. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 * 19.(2023·江苏盐城市伍佑中学高三月考)如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的弧度为(　　) A.eq \f(8π,3) B.eq \f(10π,3) C.eq \f(14π,3) D.eq \f(16π,3) 解析　因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的弧度为2π×eq \f(64,24)＝eq \f(16π,3).故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 * 20．(2024·吉林长春博硕学校开学考试)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外弧长为3.2 m，内弧长为0.8 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为(　　) A．1.2 m2 B．1.8 m2 C．2.4 m2 D．3.0 m2 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析 * 解析　设扇形的圆心角为α(α>0)，内环半径为r m，外环半径为R m，则R－r＝1.2.由扇环外弧长为3.2 m，内弧长为0.8 m，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(αR＝3.2，,αr＝0.8，))可得α(R＋r)＝4，所以扇环需要进行工艺制作的面积的估计值为S＝eq \f(1,2)α(R2－r2)＝eq \f(1,2)α(R＋r)(R－r)＝eq \f(1,2)×4×1.2＝2.4 m2.故选C. 精做大题·能力练 JING ZUO DA TI NENG LI LIAN 目录 * 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 　　　　　　　　　　　　　 R $$