考点测试13 函数与方程-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷课件PPT（新教材）

第一部分　考点通关练 第二章　函数、导数及其应用 考点测试13　函数与方程 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、高等难度 考点 研读 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 目录 狂刷小题·基础练 KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN 精做大题·能力练 JING ZUO DA TI NENG LI LIAN 狂刷小题·基础练 KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 一、基础小题 1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　) 解析　能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 2．函数f(x)＝ex＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(3，4) B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 解析　函数f(x)＝ex＋2x－6是R上的连续增函数，因为f(1)＝e－4＜0，f(2)＝e2－2＞0，可得f(1)f(2)＜0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 3．若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))) 解析　由题意知方程ax＝x2＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有实数根，即a＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))). 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 4．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln x－x2＋2x，x＞0，,2x＋1，x≤0))的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　依题意，当x>0时，作出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点；当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1的图象与x轴只有一个交点．综上，函数f(x)有3个零点． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 * 5．已知直线y＝ax与函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤0，,\f(1,2)x2＋1，x＞0))的图象恰有3个公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．(eq \r(2)，＋∞) B．(eq \r(2)，5) C．(eq \r(3)，4) D．(eq \r(3)，2eq \r(2)) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　作出f(x)的图象如图所示．当a≤0时，直线y＝ax和函数f(x)的图象只有一个交点；当a＞0时，直线y＝ax和函数y＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)的图象只有一个交点，则直线y＝ax和函数y＝eq \f(1,2)x2＋1(x＞0)的图象有2个交点，即方程eq \f(1,2)x2－ax＋1＝0在(0，＋∞)上有2个实数根，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－2＞0，,2a＞0，))解得a＞eq \r(2)，即实数a的取值范围为(eq \r(2)，＋∞)． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 * 6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,ln （－x），x<0，))若关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋2＝0有4个不同的实根，则a的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(2eq \r(2)，4] C．[2，3] D．(2eq \r(2)，3] 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　如图，画出函数f(x)的图象，设f(x)＝t，结合图象知，当t<1或t>2时，f(x)＝t有且仅有1个实根；当1≤t≤2时f(x)＝t有2个实根．因此，问题转化为h(t)＝t2－at＋2在[1，2]内有两个不同的零点，从而有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h（1）＝3－a≥0，,h（2）＝6－2a≥0，,1≤\f(a,2)≤2，,Δ＝a2－8>0，))解得2eq \r(2)<a≤3.故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 * 7．(多选)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，则关于x的方程f(x)＝k的根的情况，下列结论正确的是(　　) A．当k＝1时，方程有一个实根 B．当k＞1时，方程有两个实根 C．当k＝0时，方程有一个实根 D．当k≥1时，方程有实根 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的折线，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 8．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x＞0，))若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1 解析　画出函数f(x)的大致图象如右图，得出x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，则x3x4＝1，A不正确，B正确；由图可知1＜x4＜2，C正确；因为－2＜x1＜－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－xeq \o\al(2,1)－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，所以x1x2x3x4＝x1x2∈(0，1)，D正确．故选BCD. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (－2，1) 答案 解析 * 9．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________． 解析　函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2，1)． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0　 5 答案 解析 * 10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)＋f(2－x)＝0，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x2，则f(1)＝________；若g(x)＝f(x)－lg x，则函数g(x)的零点共有________个． 解析　由f(x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(1)＋f(1)＝0，解得f(1)＝0.由f(x)＋f(2－x)＝0，得f(2－x)＝－f(x)，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(2－x)＝f(－x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数，g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与y＝lg x图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，由图可知两函数的图象有5个交点，即函数g(x)的零点共有5个． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 二、高考小题 11．(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 12．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析　画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝－x并上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1.故选C. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋ ∞) 答案 解析 * 13．(2023·天津高考)若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为_____________________________． 解析　解法一：当a＝1时，函数f(x)只有一个零点－1，不符合题意；当a＝0时，函数f(x)只有一个零点－1，不符合题意；当a＝－1时，函数f(x)有两个零点，分别为－1和－eq \f(1,2)，符合题意．若a≠0且a≠±1，分以下两种情况：①当x2－ax＋1≥0时，f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|＝ax2－2x－(x2－ax＋1)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1＝(x＋1)[(a－1)x－1]，令f(x)＝0，由a≠0且a≠±1，得x1＝－1，x2＝eq \f(1,a－1)，且x1≠x2.又x1＝－1时，ax2－2x－(x2－ax＋1)＝a＋2－(x2－ax＋1)＝0，所以a＝(x2－ax＋1)－2， 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 则x2－ax＋1≥0时，a≥－2且a≠0，a≠±1；x2＝eq \f(1,a－1)时，ax2－2x－(x2－ax＋1)＝eq \f(a,（a－1）2)－eq \f(2,a－1)－(x2－ax＋1)＝0，所以eq \f(2－a,（a－1）2)＝x2－ax＋1，则x2－ax＋1≥0时，a≤2且a≠0，a≠±1.②当x2－ax＋1<0时，f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|＝ax2－2x＋(x2－ax＋1)＝(a＋1)x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)[(a＋1)x－1]，令f(x)＝0，由a≠0且a≠±1，得x3＝1，x4＝eq \f(1,a＋1)，且x3≠x4.同理，x3＝1时，x2－ax＋1<0，则a>2；x4＝eq \f(1,a＋1)时，x2－ax＋1<0，则a<－2.综上，a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解法二：当a＝0时，f(x)＝－2x－|x2＋1|＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2，令f(x)＝0，解得x＝－1，所以此时函数f(x)有且只有一个零点，所以a＝0不符合题意．令x2－ax＋1＝0，当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，x2－ax＋1≥0在R上恒成立，此时f(x)＝ax2－2x－(x2－ax＋1)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1.当a＝1时，f(x)＝－x－1，此时函数f(x)有且仅有一个零点，不符合题意；当a≠0且a≠1时，令f(x)＝0，解得x＝－1或x＝eq \f(1,a－1)，此时方程f(x)＝0有两个不相等实根，即函数f(x)有且仅有两个零点，所以－2≤a≤2且a≠0，a≠1符合题意．当a>2时，令y3＝y1－y2＝ax2－2x－x2＋ax－1＝0，得(a－1)x2＋(a－2)x－1＝0，解得x＝－1或x＝eq \f(1,a－1)， 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 所以函数y1＝ax2－2x和函数y2＝x2－ax＋1的图象有两个交点，当x<－1或x>eq \f(1,a－1)时，y3>0，即y1>y2；当－1<x<eq \f(1,a－1)时，y3<0，即y1<y2.函数y1＝ax2－2x的图象与x轴的交点分别为点(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))，因为a>2，所以函数y2＝x2－ax＋1的图象与x轴有两个交点，设两个交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两根，不妨设x1<x2，则x1x2＝1，x1＋x2＝a>0，所以x2>1，0<x1<1.当x＝eq \f(2,a)时，y2＝eq \f(4,a2)－a×eq \f(2,a)＋1＝eq \f(4,a2)－1<0，即0<x1<eq \f(2,a)<x2；当x＝eq \f(1,a－1)时，y2＝eq \f(1,（a－1）2)－eq \f(a,a－1)＋1＝eq \f(2－a,（a－1）2)<0，且eq \f(1,a－1)<eq \f(2,a)，所以0<x1<eq \f(1,a－1)<eq \f(2,a)<x2.据此在同一平面直角坐标系中作出函数 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * y1＝ax2－2x和y2＝x2－ax＋1的图象，如图1所示．由图1可以在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝ax2－2x和y＝|x2－ax＋1|的图象(如图2)，所以函数y＝|x2－ax＋1|在(x1，x2)内的图象与函数y1＝ax2－2x的图象有一个交点，当x<x1时，两函数图象还有一个交点，所以此时函数y＝|x2－ax＋1|和函数y1＝ax2－2x的图象有且仅有两个交点，即此时f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，所以a>2符合题意． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 当a<－2时，在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝ax2－2x和y2＝x2－ax＋1的图象，如图3所示．同理可知x1<－1<eq \f(2,a)<x2<eq \f(1,a－1)，据此作出函数y＝|x2－ax＋1|的图象，如图4所示，所以函数y＝|x2－ax＋1|在(x1，x2)上的图象与函数y1＝ax2－2x的图象有一个交点，当x>x2时，两函数图象还有一个交点，所以此时函数y＝|x2－ax＋1|和函数y1＝ax2－2x的图象有且仅有两个交点，即此时f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，所以a<－2符合题意． 综上，a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ①②④ 答案 * 14．(2021·北京高考)已知函数f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k<0，使得f(x)有一个零点； ③∃k<0，使得f(x)有三个零点； ④∃k>0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是________． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　对于①，当k＝0时，由f(x)＝|lg x|－2＝0，可得x＝eq \f(1,100)或x＝100，①正确；对于②，考查直线y＝kx＋2与曲线y＝－lg x(0<x<1)相切于点P(t，－lg t)，对函数y＝－lg x求导得y′＝－eq \f(1,xln 10)，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt＋2＝－lg t，,k＝－\f(1,tln 10)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(e,100)，,k＝－\f(100,e)lg e.))所以存在k＝－eq \f(100,e)lg e<0，使得f(x)只有一个零点，②正确；对于③，当直线y＝kx＋2过点(1，0)时， 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * k＋2＝0，解得k＝－2，所以当－eq \f(100,e)lg e<k<－2时，直线y＝kx＋2与曲线y＝－lg x(0<x<1)有两个交点，若函数f(x)有三个零点，则直线y＝kx＋2与曲线y＝－lg x(0<x<1)有两个交点，直线y＝kx＋2与曲线y＝lg x(x≥1)有一个交点，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(100,e)lg e<k<－2，,k＋2≥0.))此不等式无解，因此，不存在k<0，使得函数f(x)有三个零点，③错误；对于④，考查直线y＝kx＋2与曲线y＝lg x(x>1)相切于点Q(m，lg m)，对函数y＝lg x求导得y′＝eq \f(1,xln 10)，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(km＋2＝lg m，,k＝\f(1,mln 10)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝100e，,k＝\f(lg e,100e).))所以当0<k<eq \f(lg e,100e)时，函数f(x)有三个零点，④正确． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 三、模拟小题 15．(2024·重庆渝北中学高三上学期月考)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－18) B．(5，＋∞) C．(5，18) D．(－18，－5) 解析　由零点存在定理可知，若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，因为函数f(x)为增函数，所以只需满足f(2)f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以实数m的取值范围是(－18，－5)．故选D. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 * 解析　在同一坐标系中分别画出y＝2x，y＝3x，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)，y＝log2x，y＝logeq \s\up-7(\f(1,2))x的图象，y＝2x与y＝logeq \s\up-7(\f(1,2))x的图象的交点的横坐标为a，y＝3x与y＝logeq \s\up-7(\f(1,2))x的图象的交点的横坐标为b，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)与y＝log2x的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出，b＜a＜c. 16．(2024·山东青岛高三期末)已知2a＝logeq \s\up-7(\f(1,2))a，3b＝logeq \s\up-7(\f(1,2))b，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(c)＝log2c，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 * 17．(2024·湖北新高考联考协作体高三模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)，x＜0，,ln x，x＞0，))则函数g(x)＝f(f(x)＋2)＋2的零点个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　令t＝f(x)＋2，所以g(x)的零点等价于f(t)与y＝－2的图象交点的横坐标t对应的x值，如图所示．由图可知，f(t)与y＝－2的图象有两个交点，横坐标t1＝－1，0＜t2＜1，当t1＝－1，即f(x)＝－3时，在(－∞，－1)，(－1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))上各有一个解；当0＜t2＜1，即－2＜f(x)＜－1时，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)，＋∞))上有一个解．综上，g(x)的零点个数为4. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 * 18．(多选)(2023·湖南岳阳二模)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤λ，,－x2＋6x－8，x＞λ))(λ∈R)，g(x)＝f(x)－m，则下列说法正确的是(　　) A．当λ＝0时，函数f(x)有3个零点 B．当λ＝2时，若函数g(x)有3个零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln 2) C．若函数f(x)恰有2个零点，则λ∈[2，4) D．若存在实数m使得函数g(x)有3个零点，则λ∈(－∞，3) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　对于A，当λ＝0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤0，,－x2＋6x－8，x＞0，))令f(x)＝0，由ex－1＝0可得x＝0，由－x2＋6x－8＝0可得x＝2或x＝4，满足题设，故A正确；对于B，当λ＝2时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤2，,－x2＋6x－8，x＞2，))若g(x)有3个零点，即f(x)的图象与直线y＝m有3个交点，如图所示，则x2＋x3＝6，当ex－1＝1时，x＝ln 2，所以0<x1<ln 2，所以x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln 2)，故B正确；对于C，同B中分析的图象，在垂直于x轴的虚线x＝λ移动过程中，当λ∈(－∞，0)∪[2，4)时，f(x)恰有2个零点，故C错误；对于D，同C中分析，要使g(x)有3个零点，必有λ∈(－∞，3)，故D正确． 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 * 19．(多选)(2024·贵州贵阳第一中学高三上学期开学考试)已知函数f(x)＝ex＋x－2(e＝2.71828…为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋x－2，若f(a)＝g(b)＝0，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝2 B．a2＋b2<3 C．ea＋ln b>2 D．eb＋ln a>3 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　由题意，得ea＋a－2＝eln b＋ln b－2＝0，即f(a)＝f(ln b)＝0，而f(x)＝ex＋x－2在定义域上单调递增，故a＝ln b，所以ea＋ln b－2＝a＋b－2＝0，即ea＋ln b＝a＋b＝2，故A正确，C错误；由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)<e<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up12(3)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eeq \s\up7(\f(1,3))－eq \f(5,3)<0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eeq \s\up7(\f(1,2))－eq \f(3,2)>0，故零点x＝a＝ln b∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，所以a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2<2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1)) eq \s\up12(2)＋2＝eq \f(26,9)<3，故B正确；又a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，则eb＋ln a＝e2－a＋ln a>e2－a＋ln eq \f(1,3)>eeq \s\up7(\f(3,2))＋ln eq \f(1,3)＝eq \r(e3)－ln 3>eq \r(20)－ln 3>4.4－ln 3，而4.4－ln 3－3＝1.4－ln 3＝ln e\f(7,5)eq \f(,3) ，显然e7>35，则eeq \s\up7(\f(7,5))>3，故4.4－ln 3－3>0，综上，eb＋ln a>3，D正确．故选ABD. 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 * 20．(2024·湖北仙桃田家炳实验高级中学高三月考)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|log2（x－1）|，1<x≤3，,（x－4）2，x>3，))f(x)＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则eq \f(1,4)(x3＋x4)x1＋eq \f(1,x2)的取值范围是________________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(9,2))) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　由|log2(x－1)|＝1，得x＝3或x＝eq \f(3,2).画出函数f(x)的图象如图所示，依题意f(x)＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则eq \f(3,2)<x1<2<x2<3<x3<4<x4，x2－1＝eq \f(1,x1－1)，x2＝1＋eq \f(1,x1－1)＝eq \f(x1,x1－1)，x3＋x4＝2×4＝8，eq \f(1,4)(x3＋x4)x1＋eq \f(1,x2)＝2x1＋eq \f(x1－1,x1)＝2x1－eq \f(1,x1)＋1，因为函数y＝2x－eq \f(1,x)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x<2))在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))上单调递增，2×eq \f(3,2)－eq \f(2,3)＋1＝eq \f(10,3)，2×2－eq \f(1,2)＋1＝eq \f(9,2)，所以2x1－eq \f(1,x1)＋1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(9,2)))，即eq \f(1,4)(x3＋x4)x1＋eq \f(1,x2)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(9,2))). 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 * 21．(2024·湖北仙桃田家炳实验高级中学高三月考)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是____________． (eq \r(3,4)，2) 目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解析 * 解析　由f(x)＝f(x＋4)，可知函数y＝f(x)的周期是4，又该函数为偶函数，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)－1，故当x∈[0，2]时，－x∈[－2，0]，f(x)＝f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－x)－1＝2x－1.由f(x)－loga(x＋2)＝0，得f(x)＝loga(x＋2)，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，当a>1时，在区间(－2，6]内要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有三个不同的实数根，则等价为函数y＝f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有三个不同的交点，则需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（2）<f（2），,g（6）>f（6），))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga4<3，,loga8>3，))解得eq \r(3,4)<a<2.因此实数a的取值范围是(eq \r(3,4)，2)． 精做大题·能力练 JING ZUO DA TI NENG LI LIAN 目录 本考点在近三年高考中未涉及此题型． * 　　　　　　　　　　　　　 R $$