4.1 课时3 余弦-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（湘教版）

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第4章 锐角三角函数 4 4.1 正弦和余弦 课时3 余弦 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 求锐角的余弦值 （第1题图） 1.【2023安徽芜湖质检】如图，点为 边上的任意一点，作 于点，于点，下列用线段比表示 的值， 错误的是( ) C A. B. C. D. 【解析】，， ， ，， 选项A、B、D不符合题意， 选项C符合题意，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2024湖南郴州期中】如图，点 在第一象限. （第2题图） （1）若反比例函数的图象经过点，则 ____； 12 【解析】 反比例函数的图象经过点，，即 ， 故答案为12. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 （2）若与轴所夹的锐角为 ，则 __. 【解析】 由题意可得，，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点2 互余锐角的正弦、余弦间的关系 3.在锐角三角形中， 可改写成( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 4.【2024山东滨州质检】在中， ，则 的值( ) A A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.不确定 【解析】设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是 .根据锐角三角 函数的概念，得，,所以 .再根据三角形的 三边关系，得，故 的值大于1.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 5.【2024湖南衡阳期中】若锐角满足 ，则 的取 值范围是_______________. 【解析】 ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知识点3 用计算器求锐角的度数或余弦值 6.用计算器求下列各式的值（精确到 ）. （1） ； 【解】 . （2） . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 7.已知下列锐角的余弦值，用计算器求锐角，的度数（精确到 ）. （1） ; 【解】由，解得 . （2） . 【解】 由，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 知识点4 特殊角的余弦值的计算 8.【2024湖南娄底期末】在中，，都是锐角，且 ， ，则 的形状是( ) B A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【解析】，，则 ， ，所以 ,所 以 是钝角三角形.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 9.【2023上海青浦区期末】如图，，， 是小正方形的顶点，且每个 小正方形的边长相同，那么 值为_ __. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 添加辅助线 因为求 的余弦值需要直角三角形，而题图中没有呈现所需的直角三角形，所 以连接，利用网格证明 是直角三角形，进而求解. 【解析】 连接 ，如图， 设每个小正方形的边长为 ， ，， ， 为直角三角形，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.计算： . 【解】原式 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 刷易错 易错点 误认为余弦值的一半等于半角的余弦值而致错 11.已知在中， ，，，那么 的值为_ __. 【解析】 由勾股定理可知，则 ,所以 ，所以 . 易错警示 熟记特殊角的余弦值，注意余弦值的一半并不等于半角的余弦值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 提升 1.［中］我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所 示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果 大正方形的面积是100，小正方形的面积是20，则 的值是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】 大正方形的面积是100，小正方形的面积是20， 大正方形的边长为10， 小正方形的边长为，， ， ， ，即 （利用正、余弦的定义和勾股定理可得 ）， ．故选B． 关键点拨 根据大、小正方形面积分别求得其边长，正确建立关于正、余弦的等式是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 2.【2024河北邢台期中，中】已知直线 ，且相邻的两条平行直线间的距 离均等，将一个含 角的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平 行线上，则 的值是( ) C （第2题图） A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】如图,过点A作于D，过点B作于.设 ， ，间的距离为， ， ， ， .由题意可知， .在和 中，， . 在中， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 3.【2024湖南娄底期末，中】定义：经过三角形重心且平分这个三角形周长的直 线叫作“重分线”.如果一个等腰三角形的“重分线”能经过其两腰，那么这个等 腰三角形底角余弦值 的取值范围是__________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】 设为等腰三角形，，为其重心， 是其“重分线”. 如图（1），当“重分线”一端点与底角顶点重合（以与重合为例）时， 重 心是三角形三条中线的交点，.又 “重分线”平分三角形周长， ，是等边三角形， . 如图（2），当“重分线”平行于等腰三角形的底边，即时,连接 并延 长交于，设，，则是 的重 心，, 易得平分 的周长， ，即，， 在 中， 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 .综上所述，等腰三角形底角余弦值 的取值范围为 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.［中］如图， 的顶点都在边长相等的小正方形网格的格点（网格线的交 点）上，则 等于_ ____. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解析】 如图，过作于 .设小正方形的边长为1， .由勾股定理得 ， ，，解得， 关键点拨 在网格中，构造直角三角形，根据余弦的定义和勾股定理即可求出答案． 由勾股定理得 ， .故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 5.【2023湖南怀化质检，中】 （1）锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，请利 用图（1）和图（2）探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 【解】在题图（1）中，令，于点， 于点 ，于点，显然有， . ，，， ， . 在题图（2）中，令 ，， ， . ，，即 . 综上可知，随着锐角度数的增大，正弦值越来越大，余弦值越来越小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ， ， 这些角的正弦 值和余弦值的大小. 【解】 由（1）的规律可得 ， . （3）比较大小：（在横线上填写“ ”“ ”或“ ”） 若 ，则 ___ ；若 ，则 ___ ；若 ，则___（ 为锐角）. 【解析】 若 ，则 ；若 ，则 ； 若 ，则 .故答案为， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： ， ， ， . 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 刷素养 走向重高 6.核心素养 运算能力［较难］如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用 公式 ，求两角和的正弦值，请利用这个公 式，解决下列问题： （1）计算 的值； 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （2）利用公式证明： ，并在已知 的条件下，求 的值（ 为锐角）. 【解】 , ,, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $$