2.5 课时2 图形面积和动点问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（湘教版）

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.5 一元二次方程的应用 课时2 图形面积和动点问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一般图形面积问题 1.现要在一个长为，宽为 的矩形花园中修建等宽的 水平和竖直的小路，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种 植花草的面积为 ，那么小路的宽度应是( ) B A. B. C. D. 【解析】设小路的宽度应为，则剩余部分可合成长为 ，宽为 的矩形.依题意,得 ，整理，得 ,解得，（不合题意，舍去）， 小路的宽度应 为 ．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2.【2023湖南长沙期中】如图，将边长为 的正方形硬纸板的四个角各剪掉 一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）. 若该无盖盒子的底面积为 ，则盒子的容积是___________. 【解析】 设剪掉的正方形的边长为 ，则折成的无盖盒子的底面是边长为 的正方形.依题意得，解得， （不合题意，舍去）， 盒子的容积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 3.【2023河北邢台质检】如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙 的一 段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌 长的墙的材料 （全部用完），设的长为 . （1）的长为__________， 的取值范围是______________. 【解】， . ， . 故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为 ？ 【解】 根据题意得 ， 整理得 ， 解得（舍去）， . 答：当为20时，可使矩形花园的面积为 . （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为 .”请你判断嘉嘉的说法是 否正确，并说明理由. 【解】 嘉嘉的说法不正确. 理由：若嘉嘉的说法正确，则,即 . ， 该方程无实数根， 矩形花园 的面积不可能为 ，即嘉嘉的说法不正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 知识点2 动点问题 （第4题图） 4.【2024湖北武汉期中】如图，中， ， ，，点从点出发沿向终点 以每秒1个单位长度 的速度移动，点从点出发沿向终点 以每秒2个单位长度的速 度移动，，两点同时出发，一点先到达终点时， 两点同时停 止移动，假设两点移动的时间为秒，则的面积等于4时， 的 值等于( ) A A.1 B.2 C.4 D.1或4 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 【解析】由题意得，，则 ， ，整理得，解得， （不合题意， 舍去），的面积等于4时， 的值等于1.故选A. 关键点拨 根据题意得出关于的一元二次方程，解出的值后，根据“一点先到达终点时 ， 两点同时停止移动”对 的值进行取舍. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 5.【2024湖南娄底质检】如图，在中， ， ，为边上的高.动点从点出发，沿以 的速 度向点运动.设的面积为，长方形（点在上）的面积为 ，运 动时间为，则___时， .、 6 （第5题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 【解析】 中， ，，为 边上的 高，.又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得或 （舍去），故答案为6. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 6.【2024湖南怀化期中】如图，中， ， ，，动点从点出发以的速度向点 运动，同时动点从出发以的速度向点 运动，设它们的运 动时间为 . （1）根据题意知_______，___________.（用含 的代数式表示） 【解】由题意得，, ，故答案为 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （2）为何值时，的面积等于四边形的面积的 ？ 【解】 当的面积等于四边形的面积的时，的面积等于 的面积的.根据题意得，整理得 ， 解得 . 时，的面积等于四边形的面积的 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （3）在点，的运动过程中，的长可以是吗？如果可以，请求出 的值; 如果不可以，请说明理由. 【解】 不可以.理由如下： 如果可以，则由勾股定理得，整理得 . ， 该方程没有实数根， 的长不可以是 . 思路分析先假设的长可以为，根据勾股定理得出关于 的一元二次方程， 再根据根的判别式得出此方程无实数根即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 提升 1.【2023浙江杭州期末，中】空地上有一段长为米的旧墙 ，利用旧墙和木栏 围成一个矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为 平方米. 下列说法错误的是( ) A A.若，，则有一种围法 B.若， ，则有一种围法 C.若，，则有两种围法 D.若， ，则有一种围法 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】如图，设矩形的边长为米，则边长为 米.根据题意 得 . A 当，时，， ，即 ，解得，，此时 ,均 不符合题意，故A选项说法错误 B 当，时，， ，即 .解得（不符合题意，舍去）， ，所以有一种 围法，故B选项说法正确 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 C 当，时，， ，即 ，解得，，此时 ,均符合题意，所 以有两种围法，故C选项说法正确 D 当，时，, ，即 ，解得，此时 ,符合题意，所以有 一种围法，故D选项说法正确 续表 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 2.【2024湖南郴州质检，中】如图，将边长为的正方形 沿其对角线 剪开，再把沿着方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的 面积为，则它平移的距离 等于( ) D A. B. C. D.或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 【解析】如图，设，则. 原四边形 是正方 形， ，, ，同理可得 由沿方向平移得到，， ， ，,.， 四边形 为平行四边形，，解得 或8. 故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3.【2024湖南株洲期中，较难】从一块腰长为 的等腰直角三角形铁皮上裁 出一块面积为 的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上.若裁 出的矩形全等视为同种裁法，则裁法有( ) C A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】等腰中， ，， ， .如图（1），矩形的边 在上，顶点D,分别在,上. ， ， ， ,, .设 . 矩形的面积是， ， ，，解得， ， 或，，或 ， 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 .如图（2），矩形的边在上，在上，顶点在 上.，，.设 ，则 ,，解得，， 或4， ，或， ，截出的这两个矩形全等， 有3种不同的裁法.故选C. 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 本题考查等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的解法、 数形结合与分类讨论数学思想的运用等，综合性强，难度较大. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 4.【2023浙江湖州期末，较难】已知在长方形纸片中，， ， 现将两个边长分别为和 的正方形纸片按图（1）、图（2）两种方式放置 （图（1）、图（2）中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正 方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图（1）中阴影部分的面积为 ，图（2）中 阴影部分的面积为，若，则___；在上述条件下，在边长为 的大 正方形纸片的左上角摆放一个边长为的小正方形纸片，如图（3），若 ， 则图（3）中阴影部分的面积 ___. 3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解析】 根据题意得 ， .同理可得， ， , .又 ， .又，.将 代入 ，得,即 ，解得 ,（舍去）， .根据题意，得 ， . 故答案为3， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 关键点拨 本题中用，分别表示出阴影部分的面积和 ，再利用已知条件列出方程是解 题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 5.［中］如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上， 再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边 的行程，若垂直 上、下行速度都是3米/分，横行速度是4米/分，问如何安排上、下行和横行的时 间，才能使矩形 的面积为72平方米，而且机器人走的路线较短？ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解】设安排机器人上行的时间为分，则下行的时间也为 分，横行的时间为 分.根据题意，得 ， 整理，得，解得， . 当时，机器人走的路程为 （米）； 当时，机器人走的路程为 （米）. ，， . 答：应该安排上、下行和横行的时间分别为3分、3分、2分，能使得矩形 的 面积为72平方米，而且机器人走的路线较短． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 6.［较难］如图，在矩形中，，，点 以 的速度从点出发，沿折线向点运动，同时点 以 的速度从点出发，沿向点 运动，当其中一个动点到达终点 时，另一点也随之停止运动.设运动时间为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （1）两动点运动几秒时，四边形的面积是矩形面积的 ？ 【解】根据题意，得，，则 ，解 得 . 即两动点运动时，四边形的面积是矩形面积的 . 思路分析由四边形的面积是矩形面积的可知点应在 上.根据路程 速度×时间，分别用含的式子表示， 的长，再根据梯形的面积公式列方 程求解； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （2）是否存在某一时刻，使得点与点之间的距离为 ？若存在，求出该 时刻；若不存在，请说明理由． 【解】 存在. ①如图（1），当时，过作于，则 ，故 ，解得或 ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 ②如图（2），当时，由题意可得 ， 整理得 ， 此时 ，此方程无实数根． 综上所述，当或时，点与点之间的距离为 ． 思路分析根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 $$