2.4 一元二次方程根与系数的关系-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（湘教版）
2024-08-15
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教辅
内容正文：
数 学
九年级上册 XJ
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第2章 一元二次方程
4
2.4
一元二次方程根与系数的
关系
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刷基础
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基础
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.【2023河北邢台调研】已知关于的一元二次方程 有两个不相
等的实数根， ，则( )
D
A. B. C. D.
【解析】根据题意得，解得，所以 ，
.
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2.【2023江苏南通质检】已知关于的方程为常数 ，对
于根的情况，下列说法正确的是( )
C
A.两个正根 B.两个负根
C.一个正根，一个负根 D.无实数根
【解析】 关于的方程为常数 ，
，， 方程有两个不相等
的实数根.根据根与系数的关系可知，方程的两个根的积为， 方程
的两个根是一个正根，一个负根.故选C.
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3.【2023湖南株洲质检】已知关于的一元二次方程 的一个根为1，
则另一个根是___.
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刷有所得 根据一元二次方程的一根求另一根的方法
方法一（利用根的定义）：先把已知的一个根代入一元二次方程中，求出字母参
数的值，再通过解一元二次方程，求出另一个根;
方法二（利用根与系数的关系）：当已知二次项系数和一次项系数时，利用
，求出另一个根；若已知二次项系数和常数项，利用 ，求
出另一个根.
【解析】 根据根与系数的关系可得,原方程的两根之和为4.设方程的另一个根为
，则， .
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知识点2 一元二次方程根与系数的关系的应用
4.【2023四川泸州期中】已知关于的方程 的两实数根为
,，若，则 的值为( )
A
A. B. C.或1 D. 或3
【解析】 方程的两实数根为， ，
， ，
，解得， 方程有两实数根，
，即， .
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5.【2023湖南株洲期中】已知，是一元二次方程 的两个根，则
的值为( )
A
A.0 B. C.3 D.10
【解析】，是一元二次方程的两个根， 是
的一个根，， ，
.
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6.【2024湖南株洲期中】如图，四边形 是边长为5的菱形，
对角线，的长度分别是一元二次方程 的
两实数根，是边上的高，则 的长为( )
B
A.1.2 B.2.4 C.3.6 D.4.8
【解析】 四边形是边长为5的菱形，是 边上的高，
，， 对角线 ，
的长度分别是一元二次方程的两实数根， ，
， .故选B.
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7.【2023湖北鄂州质检】若实数，分别满足， ，
且，则 的值为__.
【解析】 实数，分别满足，，且 ，
，可看成方程的两个不相等的实数根，则 ，
， 原式 .
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8.已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
【证明】 ，
方程总有两个实数根.
（2）若方程的两根分别为,，且 ，求方程的两根.
【解】由知 ,
,则方程为 ,
方程的两根为, .
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9.【2024湖南衡阳质检】已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根.
【证明】 ，
，所以无论 取何值，
方程总有两个不相等的实数根.
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（2）若方程的两根为，，是否存在这样的实数 ，使方程的两根的平方和为2？
若存在，求出 值；若不存在，请说明理由.
【解】不存在这样的实数 ，使方程的两根的平方和为2.理由：
假设存在，根据根与系数的关系得， .由方程的两
根的平方和为2得，即 ，所以
，整理得 .
因为不论实数为何值，永远不能为 ，所以假设不成立，即不存在这样的实
数 ，使方程的两根的平方和为2.
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刷易错
易错点 根据根与系数的关系求参数的值时，忽视 而出错
10.若，是方程的两个根，且 ，
则 的值为( )
D
A.或2 B.1或 C. D.1
【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得， .
因为，所以,解得， .又
由，解得.所以 的值为1.
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易错警示
由一元二次方程根与系数的关系求出的值后，容易忽视，导致错选
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