第2章 专题5 与圆相关的综合题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 专题5 与圆相关的综合题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 圆与三角形、四边形的综合 1.【2023山东枣庄市中区期中，中】如图，在平行四边形中， 是对角 线， ，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点 ，交 于点，连接 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 思路分析 （1）连接.根据平行四边形的性质得到， ，得到 ，进而可证,得到 ，进而得到 ，于是得到结论； （2）根据已知条件得到是等边三角形，求得， ，得到 ，进而得到 ，再根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）求证：与 相切； 【证明】连接 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， . ， ， . 是的半径，与 相切. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （2）若 ， ，求阴影部分的面积. 【解】 ，，是等边三角形， ， . ， ， ， ，，， , , 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 2.【2023江西宜春期末,中】如图，在中， ， ， ，半圆的直径，点与点重合，半圆以 的速 度从左向右运动，在运动过程中，点，始终在 所在的直线上.设运动时间为 .当时，设点是半圆上一点，点是线段上一点，求 的最大值 及最小值. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 【解】当点与点重合，点与点重合时， 最大，此时 .如图， 过点作于点，与半圆交于点，此时 最小， ， .在 中， ， ， .综上，的最大值是 ，最小值是 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 思路分析 当点与点重合，点与点重合时，最大，此时 .过点 作于点，与半圆交于点，此时最小， ，求出 的值即可 . , . ，， ， ． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 类型2 圆与函数的综合 3.【2023江苏盐城质检，中】如图，在平面直角坐标系中，点 ， 均在函数的图像上，与轴相切， 与 轴相切.若点的坐标为，的半径是 的半径的2倍， 则点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 【解析】把B的坐标代入反比例函数表达式得 ，则函数的表达式是 .的坐标为，与轴相切，的半径是1， 的半径是2， 点A的纵坐标为2.把代入，得， 点A的坐标是 ．故选C． 思路分析 将点坐标代入反比例函数表达式求得,然后根据的半径为1得到 的 半径是2,将代入,得 ,即可得出答案. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 4.【2024江苏宜兴质检,中】如图，一次函数与反比例函数 的 图像交于，两点，点在以为圆心，2为半径的上，是 的中点， 已知的最大值为3，则 的值为____. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 【解析】 连接.由题意易得是 的中点， 的最大值为3， 的最大值为6.如图所示， 当过圆心时，最长，过作轴于 ， 点在直线上， 设 ，则 ,.在 中，由勾股定理得 ，，整理得，解得 （舍去），，,. 点在反比例函数 的图像上， .故答案为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 思路分析 连接，根据中位线定理可得的最大值为6.易知当过圆心时， 最长.过 作轴于.设，则， .根据勾股定理可得 ，列方程求出点 的坐标，代入反比例函数表达式即可求解. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 5. 【2024江苏常州天宁区调研，较难】在平面直角坐标系中， 的半 径为1，为任意一点，为上任意一点.给出如下定义：记， 两点间的距离 的最小值为（规定：点在上时，），最大值为，那么把 的值称为 点与的“关联距离”，记作 . （1）如图，点，， 的横、纵坐标都是整数. ① ___； 2 【解】到的距离的最小值，最大值 ， ，故答案为2. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 ②若点在线段上，求 的取值范围； 【解】 当在点处时，；当在点处时， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （2）若点在直线上，直接写出 的取值范围； 图（1） 【解】 .设， ， ， .设直线 交轴于点，交轴于点，如图（1），则 ， ，，， . 当时， 最小. ，即 ， .由图（1）易知无最大值， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （3）存在一正方形，其边长为，若点 在该正方形的边上运动时，满足 的最小值为1，最大值为，直接写出 的最小值和最大值. 图（2） 【解】 的最小值为，最大值为 .如图（2）， 的最小值为1，最大值为， 两个同心圆中， 小圆的半径为1，大圆的半径为.， 的 最小值是.在中， ， ，， ，解 得（舍去）或，的最小值为 ，最大 值为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 类型3 动态问题 6.【2023江苏连云港调研，中】如图，已知的半径是4，点，在 上，且 ，动点在上运动（不与，重合），点为线段 的中点， 连接，则线段 长度的最值是__________________________________. 最大值为，最小值为 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】 如图（1），连接，取的中点，连接 ，则 点为线段的中点，是 的中位线， ，，即点在以为圆心，2为半径的圆上， 求 的最大值就是求点到上的点的距离的最大值，求的最小值就是求点 到上的点的距离的最小值.如图（2），当在线段的延长线上时， 取最 大值； 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 当在线段上时，取最小值.， ， ，，，的最大值为 ，最小值为 .故答案为最大值为，最小值为 . 图（1） 图（2） 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 7.［难］问题情境：如图（1），是外的一点，直线分别交于点， ， 则是点到 上的点的最短距离． 图（1） 关键点拨 （3）在以为圆心，半径为1的圆上，故连接，求得的长，即可求得 长度的最小值. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （1）探究证明：如图（2），在上任取一点（不与点， 重合），连接 ，.求证： . 图（2） 【证明】，， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 图（3） （2）直接应用：如图（3），在中， ， ，以为直径的半圆交于，是弧 上的一个动点， 连接，则 的最小值是_ ________ ． 与（1） 【解析】 如图（1），连接交半圆于，则最小.在 中， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 图（4） （3）构造运用：如图（4），在边长为2的菱形 中， ，是边的中点，是边上一动点，将 沿所在的直线翻折得到，连接，则 长度的最 小值为_______． 图（2） 【解析】 如图（2），以点为圆心，的长为半径作 ,连 接，连接交（半径是1）于点 四边形 是菱 形， ，是等边三角形.是 的中点，, ，， 长 度的最小值即为的长度，即 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （4）综合应用：如图（5），平面直角坐标系中，分别以点， 为圆 心，以1，2为半径作，，，分别是，上的动点，为 轴上的 动点，则 的最小值为___． 7 图（5） 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 图（3） 【解析】 如图（3），作点关于轴的对称点，连接 ， 交于点，交轴于点，连接交于点 ，此时 最小， ， ， ， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 $$