第2章 大招专题4 辅助圆模型-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 大招专 题4 辅助圆模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招8 定点定长共圆模型 1.【2024江苏连云港期中，中】如图，点为线段 的中点，点 ，，到点的距离相等，若 ，则 的度数是 ______. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 大招解读利 用定点定长构造圆 已知定点和定长，想到动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 如图，动点到定点的距离为定值，则点的轨迹为以点 为圆 心， 为半径的圆. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 【解析】 由题意得到.以点为圆心，为半径作出圆 ， 如图所示，则四边形为圆 的内接四边形， ， ，故答案为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 子题练变式 2.【2024浙江嘉兴质检，中】如图，在中， ， ，点在上，且，点是 上的动点，连接 ，点，分别是，的中点，连接，，当 时， 线段 的长为( ) A A. B. C. D.4 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】如图，连接，，过点作于点， 于 点 在中， ，点是 的中点， .又， 点A，D，，四点共圆，且 是圆的直径， 在中，，点 是的中点，， ， .又，， ， 四边形 是正方 形，.又 ， ，， ， ，， 在 中， ，故选A. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 关键点拨 连接，，过点作于点，于点.由题意易得点， ， ，四点共圆，故 ，然后根据全等三角形及正方形的判定和性质求 得 的长度，从而求解. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 母题学大招9 定边对直角共圆模型 3.【2024江苏苏州调研，中】如图，矩形 的宽为10，长为12， 是矩形内的动点，，则 的最小值为( ) B A.9 B.8 C.7 D.6 大招解读 定边定直角共圆模型 因为直径所对的圆周角等于 ，所以以定线段的中点为圆心，以定 线段长的一半为半径作圆，动点在所作的圆上运动时，始终满足条件. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 【解析】如图，， 点在以为直径的上，连接交 于点 ， 当点位于点的位置时，线段的长度取得最小值. ， ， ， ，故选B. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 子题练变式 4.【2024浙江金华质检，中】如图，是半圆的直径，点 在 半圆上，，，是上的一个动点，连接 .过 点作于，连接，则 的最小值是_________. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 【解析】 如图，取的中点，连接，， . ， ， 在点移动的过程中，点在以 为直径的圆上运动.在半圆 中，是直径， .在 中， ，，.在 中， . ， 当，， 共线 时，的值最小，最小值为，故答案为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 母题学大招10 定边对定角共圆模型 5.【2023江苏苏州质检，较难】如图，在中，， ， ，是内一动点，为的外接圆，交直线 于 点，交边于点，连接,，若，则 的最小值为__________. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 大招解读 利用定弦定角构造圆求最值 已知定弦和弦所对的角为定值，想到动点的轨迹是以定线段为 弦的圆. 固定线段所对动角为定值,则点的运动轨迹为过,, 三点的圆 原理:弦 所对的同侧圆周角恒相等 【解析】 ， ， ， 点 在以 为弦， 的圆弧上运动. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 如图所示，设点运动的圆弧所在圆的圆心为，取优弧 上一 点，连接，，，，，，当，， 三点共 线时，有最小值. ， .又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故答案为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 母题学大招11 对角互补共圆模型 6.【2024江苏镇江质检，中】如图，，，点， 分别是线段、射线上的动点，以 为斜边向上作等腰直角 三角形， ，连接，则 的最小值为_ ___. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 大招解读 四点共圆 对角互补型: 如图，若 或 ， 则,,, 四点共圆 同侧等角型： 如图，若 , 则,,, 四点共圆 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】 连接并延长，如图.， ， ， ，，，，四点共圆. 为等 腰直角三角形， ， ， ， 点 在 的平分线上. 垂线段最短， 当时， 取最小值. 在中， ,,的最小值为 ， 故答案为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 关键点拨 连接并延长.利用四点共圆的判定定理得到，，， 四点共圆，再利用等腰 直角三角形的性质和圆周角定理得到 ，得到点 的运动轨迹， 最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结果. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 子题练变式 7.【2024福建泉州质检，较难】如图，， ， 点在内部,且 ，则 的最大值为( ) A A. B.8 C.10 D. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】如图，连接，，在上取点 使 ， ， ，，B，C，D四点共圆. ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，, ， ，，， 当 最 大时，最大，此时C点在的中点处， ， , ， 易得， 的最大值 为 ，故选A. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 $$