2.5 课时2 圆的切线的判定与性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 2.5 直线与圆的位置关系 课时2 圆的切线的判定与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 切线的判定 1.【2023福建福州平潭质检】如图，以点 为圆心作圆，所得的 圆与直线 相切的是( ) C A.以为半径的圆 B.以 为半径的圆 C.以为半径的圆 D.以 为半径的圆 【解析】 直线， 以点为圆心，为半径作圆，所得的圆与直线 相切， 故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.如图，点在上，点在外，以下条件不能判定 是 切线的是( ) D A. ， B. C. D.与的交点是 中点 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 【解析】A选项， ， ， ， 点B在上，是的半径，是的切线 选项， ， ， ， 点B在上，是的半径，是的切线 选项， ，是直角三角形，且 ， 点B在 上，是的半径，是的切线选项，与的交点是 中点，，但不能证出 ， 不能判定是 的切线.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第3题图） 3. 开放性试题【2023北京海淀区期末】如图，是 的直 径，要使得直线是 的切线，需要添加的一个条件是 __________________________.（写一个条件即可） （答案不唯一） 【解析】 是的直径， ， ， ，即 是的半径， 直线是的切线.故答案为 （答案不唯一）． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.【2024辽宁大连质检】如图，已知是的外接圆， 是的直径，是延长线上的一点，交 的延长线 于，于，且 . （1）求证：是 的切线； 【证明】连接，如图.，，且 ， ，，， ， .是的半径，是 的切线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （2）若，，求 的长. 【解】，，，， , . ， ，， ， .在和中，， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点2 切线的性质 （第5题图） 5.【2024江苏扬州邗江区期末】如图，是的直径，， 是 上的点， ，过点作的切线交 的延长线于 点，则 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】连接，如图.为的切线， ， ， ， ， ， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 关键点拨 连接，由为的切线可得，由 得到 ，再利用外角性质求出的度数，即可求出 的度数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （第6题图） 6.【2023江苏南京鼓楼区期中】已知为的直径，， 为上一点，连接,.如图，若，为 的半径， 且，垂足为，过点作的切线，与 的延长线相交 于点，则 的长为_____. 思路分析 利用切线的性质求线段长 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 【解析】 为的直径， ,是 的切 线，,， ， 四边形 为 矩形，.在中， ，， ， .，， .故答 案为． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 7.【2023浙江金华中考】如图，点在第一象限内，与 轴相 切于点，与轴相交于点,.连接，过点作 于点 . （1）求证：四边形 为矩形. 【证明】与轴相切于点，轴. , ， ， 四边形 是矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （2）已知的半径为4，，求弦 的长. 【解】如图，连接. 四边形是矩形，.在 中， ， 点为圆心， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 刷易错 易错点 考虑不全面致错 8.【2023山东滨州中考】如图，,分别与相切于, 两点，且 .若点是上异于点,的一点，则 的大小为__________. 或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【解析】 如图所示，连接,.当点在优弧上时，, 分别与 相切于,两点， , ， .当点 在 劣弧上时， 四边形是的内接四边形， . 故答案为 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 易错警示 根据切线的性质得到 ，根据四边形内角和为 ，得出 的度数.点是上异于点,的一点，故点可能在劣弧或优弧 上， 需分两种情况求解，不能漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 提升 （第1题图） 1.【2023黑龙江哈尔滨期中，中】如图，是圆的直径， 切圆 于点，于点，交圆于点，若， ， 则 的长为( ) C A.4 B.5 C.6 D.8 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 思路分析 分析步骤 图示 连接交于点 构造直角模型 __________________________ 求出三个直角 判定矩形 矩形性质 垂径定理勾股定理 的长 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】连接交于点.是圆的直径， ， 切圆于点，， . 于点C， ， 四边形为矩形，， ， ，， 在 中， ．故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第2题图） 2.【2024江苏无锡期中，中】如图，在平面直角坐标系中， 的两个顶点分别为，，有一点 ，若 点是以点为圆心，1为半径的圆上的一点，则 面积的最 小值为( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图，连接，过点作轴于，， ， ，， ， ， ， .设交于C，过点C作的切线，则 ，此 时的面积最小.的半径为1，， 面积的最小值 为 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第3题图） 3.【2024江苏南通调研，中】如图，在扇形中，点在 上， 连接，将沿折叠得到.若 ，且 与 所在的圆相切于点,则____ . 60 【解析】 与所在的圆相切于点， ， 将沿折叠得到 ， , ， ， ，故答案为60. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 4.【2023江苏扬州江都区期中，中】如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的 半径为1，直线的表达式为.若直线与半圆只有一个交点，则 的取值 范围是___________________. 或 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】 若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线 和半圆相切或从 直线过点开始到直线过点结束（不包括直线过点）．直线与 轴所 形成的锐角是 ．如图（1），当直线和半圆相切于点时，连接，则 直线， .过点作轴于点.又， ， .把点的坐标代入直线的表达式，得 .如图（2）， 当直线过点时，把代入直线的表达式，得．当直线 过点 时，把代入直线的表达式，得．综上，当 或 时，直线与半圆只有一个交点.故答案为或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 思路分析 若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切或从直线过点 开始 到直线过点结束（不包括直线过点）.当直线和半圆相切于点 时，根据直线的 表达式知直线与轴所形成的锐角是 ，从而求得 ，即可求出点 的坐标，进一步可求得的值；当直线过点,时，直接根据待定系数法求得 的值, 结合图像可确定 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 5.【2023陕西西安雁塔区质检，较难】如图，在等腰三角形 中，已知 ，，若的半径为1，为边上一动点，过点作 的切 线，切点为，则 的最小值为_ ___. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解析】 如图，作于点，于点，连接 ， ， ， , . ，， . 切于点，，， , , 当的值最小时， 的值最 小.当点与点重合时，的值最小，此时 ， 的最小值为.故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 6.［较难］如图，四边形内接于， 是直径， ，连接，过点的直线与的延长线相交于点 ，且 . （1）求证：直线是 的切线. 【证明】如图，连接， 是 直径， ., ， ，是半径， 直线是 的切 线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （2）若，，求 的长. 【解】如图，过点作，交的延长线于点 ， .是直径， . ,, . 四边形内接于， . , ， ，，，， .在中，, , ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 刷素养 走向重高 7.核心素养 几何直观［难］在矩形中，，，点 从 点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿 边向点 以每秒的速度移动，，两点分别在到达， 两点时就停止移动，设两点 移动的时间为 秒，解答下列问题： 关键点拨 （1）的面积等于与乘积的一半，用含的代数式分别表示出和 的长，即可得到 的面积的表达式,进而得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 图（1） （1）如图（1），当为何值时，的面积等于 ？ 【解】 当移动时间为秒时，， ， .的面积等于 ， ，解得， . 答：当为1或4时，的面积等于 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （2）如图（2），以为圆心，为半径作 .在移动过程中，是否存在这样的 值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由. 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 图（1） 【解】 存在.由题意可知与边, 不相切.如图（1）所示, 当时，点与点重合，点与点重合. ， ,,为 的切线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 图（2） 当正好与四边形的 边相切时，如图（2）所示. 由题意可知，， . 在中，由勾股定理可知 ，即 ，解得 ， （舍去）.综上所述,当或 时，正好与四边形 的一边相切. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 $$