2.4 课时3 圆内接四边形-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 2.4 圆周角 课时3 圆内接四边形 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 圆内接四边形 （第1题图） 1.【2024江苏无锡质检】如图，四边形内接于 ， ，，则 的半径为( ) C A.1 B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】连接，，如图. 四边形内接于， ， ， .在 中，由勾股定理得 .，，，的半径为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第2题图） 2.【2024江苏宿迁质检】如图，四边形为 的内接四边形. 弦所在直线与的延长线相交于点，，垂足为 ，连 接， ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】如图，连接 四边形为 的内接四边形， ，， ， ， . 由圆周角定理得 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第3题图） 3.如图，四边形是的内接四边形，与 的延长 线交于点，与的延长线交于点， ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】 四边形是 的内接四边形， , .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （第4题图） 4.【2023江苏泰州期末】如图，四边形是 的内接四边 形，是的直径，连接.若，则 的度 数是( ) A A. B. C. D. 【解析】连接，如图. 四边形是 的内接四边形， ， 是的直径， ， 在 中， ．故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （第5题图） 5.【2023江苏淮安中考】如图，四边形是 的内接四边 形，是的直径，，则的度数是_____ . 120 【解析】 如图，连接是的直径， ， ，为等边三角形， 四边形 是的内接四边形， ， ，故答案为120. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （第6题图） 6.如图，点,,均在上，是 的延长线上的一点．若 ，则 的大小为______． 【解析】 作所对的圆周角 ,如图. ， , , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.【2023江苏镇江润州区期中】如图，点,,,,在 上，且 的度数为 ，则 的度数为______. 【解析】 如图，连接的度数为 , 点，，，在上， 四边形是 的内接四边形， , , ,故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 思路分析 连接,根据的度数为 ，得出 .根据圆内接四边形的性质得出 ,即可求出答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.如图，四边形是的内接四边形，点是 延长线上的一 点，且平分，交延长线于点 . （1）求证： . 【证明】平分 ， , , ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）若，，求 的长. 【解】如图，过点作，垂足为 . 平分，，， ， .在和 中， ，， ， .在和中，， ， , . ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 9.如图，四边形内接于，是上一点，且 ， 连接并延长交的延长线于点，连接 ． 思路分析 （2）连接，，过作于点 .根据圆内接四边形 的性质求出的度数，由圆周角定理得出的度数，求出 .根 据含 角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出 ，再根据垂径定 理求出 ，即可求出答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 （1）若 ， ，求 的度数； 【解】 四边形内接于， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 （2）若的半径为6，且，求 的长． 【解】 如图，连接，，过作于点 ，则 四边形内接于 ， ， ， ， ， ， ， ，由勾股定理得 ，过圆心 ， ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 提升 （第1题图） 1.【2023山西大同云州区一模，中】如图，四边形 内接于 ，连接，.若四边形是菱形，则 的度 数是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图，连接,, , 四边形 是菱形， .由圆周角定理得, 四边形 是的内接四边形， , , , .故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （第2题图） 2.【2023江西吉安永丰期中，中】如图，四边形是 的内 接四边形， , ,,,则 的长为 ( ) C A. B. C. D.3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】如图，延长，交于点 四边形是 的内接四 边形， , , , ,, .设 ，则，， ， ，，. 由勾股定理 易得，，解得 , ，故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第3题图） 3.【2023江苏常州期中，中】如图，在平面直角坐标系 中，点 在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，， 四 点， ，，则圆心点 的坐标是_________. 【解析】 四边形为 的内接四边形， ， ， 在 中， ， ， ，，为中点， 点 坐标为 ．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 4.【2024江苏南京质检，中】如图，四边形内接于 ，它的3个外角 ，，的度数之比为，则____ . 72 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】 如图，延长到 四边形内接于 ， .又 ， ，的度数之比为，，， ， 的度数之比为 关键点拨 根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出 ，再根据平角的定义可 求出答案. ， ，， 故答案为72. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5.【2023江苏盐城大丰区期中，较难】如图，中，， ， .以为弦的圆分别交，于，两点，连接，，点在 边上，且满足 ，连接.若，则 的面积的最小 值是_________. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】 如图，连接， ， ， ， ， ,,, 四点共圆， ， ， ，， ， ， ， , 易得，， 边上的高为， 当最小时，的面积取得最小值.作 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 的外接圆，过点作于点，连接，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 当 最小 时，就取得最小值.， 当，，三点共线时， 最 小，此时，. ， ，的最小值为， 的面积的最小值为 .故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 连接，利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等证明 ，从而得到 .当最小时，的面积就最小，作的外接圆 ，过点 作于点，连接，，,.表示出与 的关系，可知当 最小时，就最小；当，，三点共线时， 最小，此时 ，求出，可得的最小值，再求，即可求出 的面积的最小 值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 6.【2023北京中考，中】如图，圆内接四边形 的对角线 ,交于点,平分, . （1）求证平分,并求 的大小； 【解】, ， ，即平分 . 平分， ， ，,即 ， 是直径， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）过点作交的延长线于点.若, ,求此圆半径的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 【解】 ，， ，则 ，.， ， 是等边三角形，则 . 平分， . 是直径， ，则 . 四边形是圆内接四边形， ，则 ， ， ， . ，, . 是直径， 此圆半径的长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力【2024江苏徐州调研，较难】如图（1），在中，弦 平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦，， 构成的图形称 为“爪形”，弦，，称为“爪形”的爪.如图（2），四边形 内 接于，，连接 . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 思路分析 （1）由圆周角性质得出 ，即可证得结论； （2）延长至点，使得，连接，通过证明 ， 为等边三角形，即可得出结论. （3）同（2）可得，利用全等三角形的性质易判断 为等腰 直角三角形，再利用勾股定理即可得出结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （1）证明圆中存在“爪形 ”. 【证明】，，平分圆周角， 圆中存在 “爪形 ”. （2）若 ，求证： . 图（1） 【证明】如图（1），延长至点，使得 ，连接 , , . ，, , ， ， 为等边三角形， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 图（3） （3）如图（3），若，此时“爪形 ”的爪之间满足怎样的数 量关系，请直接写出结果. 图（2） 【解】 .理由如下：如图（2）， 延长至点，使得，连接 . 同（2）可得，， . ， ， ， 为等腰直角三角形，，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 $$