2.4 课时2 圆周角定理的推论-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 2.4 圆周角 课时2 圆周角定理的推论 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 直径所对的圆周角是直角 （第1题图） 1.【2023湖北孝感中考】如图，在中，直径与弦 相交于 点，连接，，，若 ， ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ， ， 是 的直径， ， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 （第2题图） 2.【2023江苏常州中考】如图，是的直径，是 的 内接三角形.若，，则的直径 _____. 添加辅助线 遇直径构造直角 圆中遇到直径常添加的辅助线:（1）若题目中无直径，往往需要作 出直径.（2）“见直径，构造直径所对的圆周角”是常用且重要的 构造辅助线的思路. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 【解析】 连接，，如图.是 的直径， ，， . 又，.在 中， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 （第3题图） 3.【2024江苏无锡调研】如图，为的直径，点 为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心 不重合， ，则 的度数为____. 【解析】 如图，连接 是直径， ， 所对的圆周角为 ， 所对的圆周角为 .由翻折的性质得 ， , ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 关键点拨 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，根据直角三角形两锐 角互余求出，再根据翻折的性质得到 的度数，最后利用三角形的外角的 性质可得结论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （第4题图） 4.【2023广东广州质检】如图所示，在中，，以 为直径作半圆，交于点，交于点.若 ， ,则弧的度数是____， 的长为___. 2 【解析】 如图，连接,, , , , 弧的度数是 为半圆的直径，,是 的中线， ，．故答案为 ，2． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 关键点拨 如图，连接，延长交于，连接，，.首先证明 ， 然后利用勾股定理求出 即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （第5题图） 5.【2023福建厦门思明区期中】如图，在中，弦 ，连 接,,，，则 的直径长为______. 【解析】 如图，连接，延长交于点，连接， , 是直径， , , ,, , , .故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 6. 开放性试题【2023江苏南京期中】如图，,是 上的点，且 ，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是_______ _________________________________.（只要求写出四个） ， ， ，（答案不唯一） （第6题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 【解析】 如图，连接，过点作射线交于点，连接 . ① ，， 是等边三角形， ，因此可以得到 的角 ② 是 的直径， ，因此可以得到 的角 ③ ，因此可以得到 的角 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 ④ ，因此可以得到 的角 ⑤ ，因此可以得到 的角，同时还可以 画出 的角 续表 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 7.【2024江苏盐城亭湖区质检】如图，是的直径，弦于点 ，连 接， . （1）求证： ； 【证明】是直径， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 （2）作于点，若的半径为10，，求 的长. 【解】如图，连接，，, , 在中，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 知识点2 90 的圆周角所对的弦是直径 （第8题图） 8.【2024江苏徐州期中】如图，把直角三角板的直角顶点 放在圆 周上，两直角边与圆弧分别交于点，，量得 ， ，则该圆的半径是___ . 5 【解析】 连接，如图. ， 为圆的直径. ， ， ， 圆的半径为 .故答 案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 关键点拨 分析题意，连接，易得为圆的直径，结合勾股定理求得 ，进而求得圆的半径. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 9.如图，点，，，都在上， ，，，则 的直 径的长是_____. （第9题图） 【解析】 连接 ，是的直径， ， ，.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 刷易错 易错点 忽视定长弦的位置而致错 10.如图，是圆的直径，是圆的弦，,．在图中画出弦 ， 使，则 的度数为__________. 或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 【解析】 如图，连接,则 .在 中, ,, . ①当与在直径的两旁时，连接.， ， ，为等边三角形， ， .②当与在直径 的同旁 时，则 . 综上， 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 易错警示 在圆中根据已知弦长和弦的一个端点作这条弦时，往往有两条，分别位于已知点 的两侧. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 提升 （第1题图） 1.【2023甘肃武威调研，中】如图，是半圆的直径， ， 点，在半圆上，，是（靠近点）弧 的三等分点， 点是上的一个动点，则 的最小值为( ) B A. B. C. D.2 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】如图，连接，，，，， ， .根据题意，得， ， 是等边三角形，是直径， ， 由勾 股定理得.， ， 的最小值为 .故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （第2题图） 2.【2024江苏南京江宁区质检，较难】如图，点是以 为直径 的半圆上的动点，在上，且，点，， 分别 是，，的中点.若，则 面积的最大值为 ( ) B A.2 B.3 C.6 D.9 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】设，，，，分别是，，， 的中点， ，，， ， 是直径， ， ， , ,, , ， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 关键点拨 由中位线求得，.设, .由 ,和 即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （第3题图） 3.【2024江苏扬州广陵区质检，中】如图，在半圆 中， ，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧 恰好过圆 心，则 的长是_____. 【解析】 过点作于，交半圆于点，连接 ，如 图. 半圆沿所在的直线折叠，圆弧恰好过圆心 ， ，，， ，即 为直径， ，,由勾股定理得 . 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （第4题图） 4.【2023四川泸州模拟，中】如图，在直角 中， ,,，点是 边上一动点，连接 ，作于点，连接，则线段 长度的最小值为 _________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解析】 于点， 点，，在以 为直径的圆上. 如图,取的中点，连接，，则， 当 ， ，三点共线时，的长度最小., , 在 中， ， 在 中， ，长度的最小值为 . 故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 关键点拨 解题的关键是要知道 点的运动轨迹． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 5.【2024江苏苏州吴中区调研，较难】如图，是的直径，点，是 上 的点，且，分别与，相交于点，.若 的半径为5， ，点是线段上任意一点，则 的最小值是_____. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 【解析】 作点关于的对称点，连接交于 ，连接 ,，,如图.由对称知 ， ，此时的值最小. 是 的直径，, 即 , ,， ， 点和点 关于对称， ， ， .过点 作 于，则.在中， ， ，， 的最小值为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 6. 【2023浙江杭州拱墅区期中，较难】如图，是以为直径的半圆 上一 点，连接，，分别以，为直径作半圆，其中，分别是以， 为 直径的半圆弧的中点，，的中点分别是，.若 ， ，则 的长是____. 17 （第6题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 【解析】 设交于点，交于点，如图.， 的 中点分别是，，为圆心，， ， ，，，分别为以， 为直径的半圆的圆心. ， ， ， 分别平分以，为直径的半圆，即经过点，经过点， 点， ， ，在同一条直线上，点，，，在同一条直线上．为半圆 的直径， ，， 四边形为矩形， ， ，， 为两个半圆的直径， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 ， ， 7， ， ， ．故答案为17． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 刷素养 走向重高 7.核心素养 几何直观 【2023江苏苏州质检，较难】如图， 点和动点在直线上，点关于点的对称点为点，以 为边作，使 ， ，作 的外接圆.点在点右侧，，过点 作直 线，过点作于点，交右侧的圆弧于点. 在射线上取点 ， 使，以，为邻边作矩形.设 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 思路分析 （1）由，，易得，由勾股定理得 ，再由中位线 的性质得，进而求得， ； （2）由题意易得的长，作于点，则 ，由中位线的性质得 ，由矩形性质得，结合可得 的长,利用矩形 面积，求得 的值，进而得出结论； （3）连接，过点作于点，过点作于点 ，易得 ,，，得出 ，易得，故 , 进而得出，，求得，进而求得 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 （1）用关于的代数式表示：____， ____. 图（1） 【解】设与交于点.在 中， ，， ， ，， ， , 四边形是矩形， ， .故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 42 （2）当点在点右侧时，若矩形的面积等于90，求 的长. 【解】 点与点关于点对称，， . 设与交于点,作于点，如图（1），是 的外接圆， ，是直径， 点是的中点， . , 四边形为矩形， ， .又， ， ，解得（舍去）， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 43 （3）当点在点右侧时，作直线交于点，交直线于点，若 的弦心 距为1，求 的长. 图（2） 【解】 如图（2），连接，过点作于点 ， 过点作于点， 是直径， ，, . 由易得, , 易得 ， ，，.由勾股定理得 .又 ，，， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 44 $$