2.4 课时1 圆周角的概念与圆周角定理-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 2.4 圆周角 课时1 圆周角的概念与圆周角定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆周角的定义 1.下列四个图中， 是圆周角的是( ) C A. B. C. D. 【解析】圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识点2 圆周角和圆心角的关系 （第2题图） 2.【2023浙江杭州中考】如图，在中，半径， 互相垂直， 点在劣弧上.若 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，连接 ， 半径，互相垂直， ， ， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 关键点拨 连接，根据圆周角定理可求的度数，结合垂直的定义可求 的度数， 再利用圆周角定理即可求得 的度数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第3题图） 3.【2023河南驻马店期中】如图，在中， ， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 思路分析 构造 转化 倍分 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 【解析】连接 在中，， ， ， ，故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （第4题图） 4.【2023江苏淮安质检】如图，已知，，三点都在 上，， ，若的面积为2，则 的 半径为( ) B A.4 B.2 C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 【解析】连接，，，如图. ， ， ， ， ， ， 思路分析 连接,,.根据圆周角定理可得 ， ，进而得出 ，所以的面积和 的面积相等，再根据三角形面积公式求出半 径即可． ，，， （负值已舍去）， 故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 5.【2024江苏南京调研】如图，在中，， 于，若的外心在线段上， ，则 _____. 【解析】 如图，作的外接圆，连接 . ， ， ，.在 中， , ,, 由勾股定理得 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 刷有所得 因为题目中没有明确点的位置，所以点与点可能在直径 的同侧，也可能在 直径 的异侧，需要画出对应的图形，分情况讨论解决问题. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 6.已知，在中，是直径，点和点是上的点，且 ， ，请补全图形，并求出 的度数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 【解】补全图形如图所示.当点 在图（1）所示的位置时， ， . 当点在图（2）所示的位置时， ， .综上所述，的度数为 或 . 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 知识点3 同弧或等弧与所对圆周角的关系 7.【2024甘肃定西期末】已知：的两条弦，相交于点，且 . 图（1） （1）如图（1），连接.求证： . 【证明】，，即 ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 图（2） （2）如图（2），若，在上取一点，使 ， 交于点，连接，.判断与 是否相等，并说明 理由. 【解】与相等.理由如下：连接，如图. ， ， , ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 刷易错 易错点 弦所对的圆周角考虑不全致错 8.如图，的半径为1，是的一条弦，且，则弦 所 对的圆周角的度数为___________. 或 【解析】 如图，连接，的半径为1，且 ， 是等边三角形， ， ， , ， 弦 所对的圆周 角的度数为 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 易错警示 一条弦所对的圆周角如果只求一个,就会漏解而导致错误 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 提升 （第1题图） 1.【2023山东济宁质检，中】如图，是的弦，且 ，点 是劣弧的中点，点是优弧上的一点， ，则圆 心到弦 的距离等于( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图，连接，，交于点 点C是劣弧 的中 点，，，且 ， ， ， ，，故圆心到弦 的 距离为 ．故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （第2题图） 2.【2023浙江温州中考，较难】如图，四边形内接于 , ,.若 ,,则 的度数与 的长分别为( ) C A. ,1 B. ， C. ,1 D. , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】如图,连接，,设与相交于点 ， ，， ， ， ， ， ， . ， .， 是等边三角形， ， ， ， ，易得 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 思路分析 由平行线的性质，圆周角定理及垂直的定义推出 ， ，结合 ，求出 ，得到 是 等边三角形，得到.由等腰三角形的性质求出 的度数，求出圆的半 径长，即可得的度数及 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 3.【2024天津河东区质检，中】如图，在平面直角坐标系中，的圆心在 轴上， 且经过点和点，点 是第一象限圆上的任意一点，且 ，则 的圆心的坐标是______. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】 如图，连接，，过作轴于，过 作 轴于 . 点，点， ， ， ， ， ，， ， .设，，，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 4.【2023江苏泰州期中，中】如图，中，，， 点 是所在平面上的一个动点，且 ，则 面积的最大值是 ______. （第4题图） 【解析】 如图，作于，， , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 ，.在中， , ， ， .以 为圆心， 为半径作 ， 点在中的优弧 上运动， 当点运动到如图所示的位置，即,,三点共线时， 的面积最大,连接 ，， 面积的最大值为 ．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 5.【2023江苏扬州江都区质检，较难】如图，是半径为2的的弦，将 沿 着弦折叠，正好经过圆心，点是折叠后的上一动点，连接 并延长交 于点，是的中点，连接，，，则 的最小值为_______. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解析】 如图，连接，，，过点作于点 ，连接 ．由题意知，将沿着弦折叠，正好经过圆心 ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形. 点是的中点，.又， 点 是 的中点，是斜边上的中线，，点在以点 为 圆心，为直径的圆上运动， 当，，三点共线时， 的长度最小，此 时，，的半径是2，即，， 由勾股定理 得，．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 6.【2023江苏连云港期中，中】如图，已知圆上依次有, , ,四个点，，连接，，，弦 不经过圆心 ，延长到，使，连接，是 的中点，连接 . （1）若，求 的长； 【解】如图，连接， 点为的中点.是 的中点，为的中位线，. ， ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）设是的中点，探索：在圆上是否存在一点（不同于点 ），使得 ？并说明与 的位置关系. 【解】 存在．如图，过点作的垂线，与 的交点即为所 求的点为的中位线， ， ， ， .由作法可知，为 的中点， ， . 在和中， ， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 刷素养 走向重高 7.核心素养 模型观念【2024江苏无锡梁溪区期中，较难】关于 的 方程，如果，，满足且 ， 那么我们把这样的方程称为“勾股方程”.请解决下列问题： （1）请写出一个“勾股方程”：______________________________ ___________________________________________________________ _________________； 【解】写出一个“勾股方程”：（答案不唯一）.故答案为.（答案不唯一） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （2）求证：关于的“勾股方程” 必有实数根； 【证明】 关于的方程是“勾股方程”， 且 .①当时，， 方程有两个实数根； ②当时，方程为，， 该方程有实数根.综上，关于 的 “勾股方程” 必有实数根. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （3）如图，已知，是半径为1的的两条平行弦，， ，且 关于的方程是“勾股方程”，求 的度数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 【解】如图，作于，延长交于，连接 ， ，， ， ， . 是“勾股方程”， ， . ， ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 $$