2.2 课时1 圆心角、弧、弦之间的关系-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 2.2 圆的对称性 课时1 圆心角、弧、弦之间的关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 圆心角、弧、弦之间的关系 1.【2024江苏镇江质检】下列命题正确的是( ) B A.相等的圆心角所对的弦相等 B.圆既是中心对称图形又是轴对称图形 C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D.在同圆中，较长的弧所对的弦较长 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】A选项，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题错误，不 符合题意；B选项，圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；C选 项，同一条弦对应着两条弧，它们不一定相等，故在同圆或等圆中，相等的弦所 对的弧不一定相等，故原命题错误，不符合题意；D选项，在同圆中，半圆弧所对 的弦最长，其他非半圆弧所对的弦均小于半圆弧所对的弦（直径），故原命题错 误，不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2024江苏连云港调研】，是中的两条弦，若，则 与 的大小关系是( ) A A. B. C. D.不能确定 【解析】如图所示，，.在中， ， ，即，， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2024江西赣州质检】把一张圆 形纸片按如图所示方式折叠两次后 展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，过点作于点，交于点，连接 .由 折叠的性质得到， ， ， ，的度数是 .故 选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 关键点拨 作辅助线，利用折叠的性质得出 ，再根据直角三角形的性质及 平行线的性质得出 ，最后利用弧的度数与圆心角度数的关系得出结 论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 4.【2024江苏镇江期末】如图，点，，都在上，是 的中点， ，则 等于____. （第4题图） 【解析】 ，， ， 是的中点， ， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （第5题图） 5.【2024辽宁沈阳质检】如图，是圆的直径，，， 是 圆的弦，且，则 ______. 【解析】 如图，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （第6题图） 6.如图，已知是的直径，， ，则弧 所 对的圆心角等于____度. 60 【解析】 如图，连接，， ， 是等 边三角形，， ， 都是等边三角形， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.如图，在中，点是优弧的中点，，分别是， 上 的点，且，弦，分别过点， . （1）求证： . 【证明】如图，连接 . 点是优弧的中点， ， . ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （2）求证： . 【解】 如图，连接，， ， ，， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.【2023江苏淮安调研】如图，在中，， . （1）求证： ； 【证明】， ， 是等边三角形， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）若是的中点，求证：四边形 是菱形. 【解】 连接，如图.，是 的 中点，， .又， ， 和都是等边三角形，， ， ， 四边形 是菱形． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 刷易错 易错点 忽略弦所对的弧有两条致错 9.【2023 山东淄博调研】在半径为1的圆中，长度等于 的弦所对的弧的度数为 __________. 或 【解析】 如图，连接, 在中， ， ，， 为直角三角形，且 ，即长度等于 的弦所对的弧有两段，一段所对圆心角 为 ，另一段所对圆心角为 ， 长度等于的弦所对的弧的度数为 或 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 易错警示 圆中一条弦所对的弧有两条，一条劣弧，一条优弧，它们分别位于弦的两侧，本 题容易忽略优弧致错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 提升 1. 【2023北京东城区期末，中】计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的 形式显示任务完成的百分比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 若圆的半径为1，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为 .下列描述 正确的是( ) D A. B.当时， C.当时， D.当时， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 【解析】 A 当时，弧等于四分之一圆，故， 两点与圆心连线的夹角为 ，故 ，本选项不符合题意 B 当时， ，本选项不符合题意 C 当时，与 可能相等，可能不等，本选项不符合题意 D 当时， ，本选项符合题意 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （第2题图） 2.［中］如图，在扇形中， ，将扇形 沿 过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交 于点 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】连接 将扇形沿过点B的直线折叠，点 恰好落 在上的点D处，折痕交于点C，垂直平分， ， ，为等边三角形， ， ， 的度数为 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 3.【2024安徽马鞍山博望区质检，中】如图，点是直径的三等分点 ， 点是弧的三等分点（弧 弧），若直径，则 的长为 _________. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】 如图，过作于，则 点是直径 的三等分点 ，直径，，， ， 点是弧的三等分点（弧 弧 ）， ， ， ， ， ， ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 关键点拨 过作于，求出 ，通过含 角的直角三角形的性质及勾 股定理求出，的长度，再求出的长度，最后根据勾股定理求出 即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 4.【2024黑龙江佳木斯期末，较难】如图，是的直径，，点 在 上， ，为的中点，是直径上一动点，则 的最 小值为_____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解析】 如图，作点关于的对称点，连接，与 的 交点为点，此时的值最小，为的长，连接 ， ， 点为点关于直线的对称点， ， , , .又为的中点， ， ， .又 ， ， 在中， ，即 的最小值为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 思路分析 作点关于的对称点，连接，与的交点为点，此时 的最小值， 即为的长，连接，， ，先求 ，再根据勾股定理即可得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 图（1） 5.【2023吉林长春质检，较难】如图（1），是的直径， 与 是弦，且 . （1）求证：,与圆 相交形成的弧相等； 图（1） 【证明】如图（1），作于点，于点,连接 , . ，.又 , ，.又, , ，， ， ，即， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 图（2） （2）若点由圆上运动到圆外， 过圆心，如图（2），（1）中 的结论是否仍然成立？为什么？ 图（2） 【解】仍然成立.理由如下：如图（2）,作于点 ， 于点，设,与分别交于点,.连接, , ,，，由（1）可知， , 同理可得,, ，故（1）中的结论仍然 成立. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力［难］小明在完成作业“ ，，是 的三等 分点，弦分别交，于点，，求证： ”的基础上，做了 如下尝试，把 改为 ，其他不变，证明成功后，大胆猜 想“如图， ，，是的三等分点，弦分别交，于点， ， 求证： ”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 【解】尝试：连接， 在中， ，,是 的三等分点， ， , ， ， ，，.同理,，是 的三 等分点，， . 猜想：连接，. 在中， ，,是 的三等分点， ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 ， ，， . 同理,，是的三等分点，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 刷有所得 本题“尝试”中的结论和的角度没有关系，只要，还是弧 的三等分点， 那么 的结论就一直成立. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 $$