第22章 二次函数 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（人教版）

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十二章二次函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图象与性质 1.【2023河南中考】二次函数 的图象如图所示，则一 次函数 的图象一定不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 抛物线开口向下，，， 一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 思路分析 由二次函数的图象特征得出,则可得到一次函数 的图象经过的象限, 进而得到答案. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 2.【2023山东日照中考】在平面直角坐标系中，抛物线 ， 满足已知点，，在该抛物线上，则，， 的大小 关系为( ) C A. B. C. D. 【解析】，,， , ，， 抛物线开口向上.，. 点 ，，在该抛物线上，，，的大小关系为 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 3.【2023陕西中考】在平面直角坐标系中，二次函数 （为常数）的图象经过点,其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有( ) D A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 【解析】由题意可得，解得， 二次函数 的图象的对称轴在轴左侧，， ， ， 该二次函数有最小值，最小值为 .故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 4.【2023四川遂宁中考】抛物线 的图 象如图所示，对称轴为直线.下列说法： ； ；（ 为全体实数）；④ 若图象上存在点和点 ，当 时，满足，则 的取值范围为 .其中正确的个数有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 【解析】根据图象可得， 抛物线的对称轴为直线 ， ，，，故①正确.根据图象可得当 时， ，即，，故②正确. 抛物线对称轴为 直线， 当时的函数值最大， （为全体实数），， ，即 （为全体实数），故③错误.当 时，点A与点B关于 对称轴对称.， 点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， 且 ， ，故④正确.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 5.【2023福建中考】已知抛物线经过 , 两点，若,分别位于抛物线对称轴的两侧，且,则 的取值范 围是____________. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】 由题意得抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口 向上.根据，,分别位于抛物线对称轴的两侧,可分以下两种情况：若点 在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，由题意可得 不 等式组无解.若点在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧，由题意可得 解得.综上，的取值范围为 .故 答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 关键点拨 解答本题要先求出抛物线的对称轴,然后对点和点 分别在对称轴两侧进行分类讨论. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 6.【2023浙江嘉兴中考】在二次函数 中. （1）若它的图象过点，则 的值为多少？ 【解】将代入得，解得 . （2）当时，的最小值为，求出 的值. 【解】 抛物线的对称轴为直线.若，则 时函 数取最小值， ，解得 （负值已舍去）； 若，则时函数取最小值，，解得 （不符合题意， 舍去）. 综上所述，的值为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 （3）如果，， 都在这个二次函数的图象上，且 .求 的取值范围. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 【解】 ，的纵坐标相等， 两点关于对称轴对称， ，且在对称轴左侧， 在对称轴右侧. ，，解得 . 在中，令得， 抛物线与 轴交点为 ， 关于对称轴的对称点为， ，解得 . ①当在对称轴左侧时，，，解得，此时 满足的 条件为 ； ②当在对称轴右侧时，，，此时满足的条件是 . 综上所述，的取值范围为或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 考点2 二次函数图象的几何变换 7.【2022广西玉林中考】小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 有4种方法： ①向右平移2个单位长度； ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ③向下平移4个单位长度； ④沿 轴翻折，再向上平移4个单位长度. 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 【解析】①将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到 ， 把代入得，所以该平移方式符合题意；②将二次函数 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到 ， 把代入得 ，所以该平移方式符合题意；③将二次函数 的图象向下平移4个单位长度，得到，把 代入得 ，所以该平移方式符合题意；④将二次函数的图象沿 轴翻 折，再向上平移4个单位长度,得到，把代入得 ， 所以该变换方式符合题意.综上所述，正确的个数有4个.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 8.【2023黑龙江牡丹江中考】将抛物线 向下平移1个单位长度，再向 右平移______个单位长度后，得到的新抛物线经过原点. 2或4 【解析】 抛物线向下平移1个单位长度的解析式为 . 设抛物线向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析 式为 抛物线经过原点， 当时， ， ，解得 或4.故答案为2或4. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 关键点拨 熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 考点3 二次函数的实际应用 9.【2022辽宁鞍山中考】如图，在中， ， ，，，垂足为点，动点 从点 出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点 从 点出发沿射线方向以的速度匀速运动.当点 停止运动 B A. B. C. D. 时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为 ，则 下列图象能大致反映与 之间函数关系的是 ( ) 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 【解析】 ， ，， ， ，， , ， ，， 当在上时， ， ， ， ；当在 上时， ， ， .故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 10.【2023江苏无锡中考】某景区旅游商店以20元/ 的价格采购一款旅游食品加 工后出售，销售价格不低于22元/，不高于45元/ ．经市场调查发现每天的销 售量与销售价格（元/ ）之间的函数关系如图所示． （1）求关于 的函数解析式； 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25 【解】当时，设函数解析式为.将， 代入解 析式,得解得 函数解析式为.当 时，设函数解析式为.将， 代入解析式，得 解得 函数解析式为.综上，关于 的函数解析式为 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最 大销售利润是多少？【销售利润（销售价格-采购价格） 销售量】 【解】 设利润为元，当 时， 时，随着的增大而增大， 当时，取得最大值,为400；当 时， ， 当时，取得最大值,为， 当销售价格为35元/ 时，该 商店销售这款食品每天获得的销售利润最大,最大销售利润为450元． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 27 考点4 二次函数的综合运用 11.【2022黑龙江龙东地区中考】如图，抛物线 经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为 . （1）求抛物线的解析式； 【解】 抛物线经过点，点 ， 解得 抛物线的解析式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 （2）抛物线上是否存在点，使的面积是 面积的4倍?若存在，请直 接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】 存在.点的坐标为或 . ， . 将代入得， . 又， 轴，（由纵坐标相等，即两点到 轴的距离相等，可得到 轴.） 点到线段的距离为1， ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 ， . 设.由题意可知点在直线 上方，则 ，整理得 ，解得 ，， 点的坐标为或 （对于 “存在性”问题，一般先假设存在，然后构建方程，方程有实数解且符合 实际，则存在，方程无实数解或解不符合实际，则不存在.）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.【2023江苏南通中考】定义：平面直角坐标系中，点，点 ， 若，，其中为常数，且，则称点是点的“ 级变换点”. 例如，点是点的“ 级变换点”. （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出 的 值；若不存在，说明理由. 【解】存在.由题意得，的“级变换点”为.将代入 中得，解得 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 （2）点与其“级变换点”分别在直线，上，在， 上分别取 点，.若，求证： . 【证明】由题意得，点的坐标为.由点的坐标知，点 在直线 上，同理可得，点在直线上，则 ， ，则 ， ，即 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 （3）关于的二次函数 的图象上恰有两个点，这两个 点的“1级变换点”都在直线上，求 的取值范围. 【解】设在二次函数图象上的两个点为点，，且点 ，则 其“1级变换点”的坐标为.将代入 得 ，则，即点在直线 上.同理可得， 点在直线上，即点,所在的直线为 .由抛物 线的解析式知，其和轴的交点为, ，其对称轴为直线 .当时，抛物线和直线的大致图象如图,直线和抛物线均过点 ， 则点,必然有一个点为，设该点为点，另外一个点为点 ，如图.令 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 ，整理得,则 . ，，解得.当时，直线 和抛物线有两个交点， 则，故，即且 ； 当，时，直线 不可能和抛物线有两个交点，故该情况不存在.综上， 且 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章测 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.若是关于的二次函数，则 的值为( ) A A. B. 或1 C.1 D.不存在 【解析】若是关于的二次函数，则解得 . 故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 思路分析 先确定方程两根的范围，然后再确定抛物线的对称轴，最后根据抛物线与 轴的两 个交点关于对称轴对称即可解答. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 2.【2023北京海淀区期中】如图，已知关于的一元二次方程 的 两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则 的值可能是 ( ) C A. B.0 C.1 D.2 【解析】设一元二次方程的两根为, 关于 的一 元二次方程 的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②， 区域均含端点，， 抛物线 的对称轴 是直线，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称， 的值可能为1.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 3.【2023河北中考】已知二次函数和（ 是常数）的 图象与 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个 函数图象对称轴之间的距离为( ) A A.2 B. C.4 D. 【解析】， 其图象与轴交于点 ， ， 其图象与轴交于点 ， 这四个交点中每相邻两点间的距离相等，为与 的中 点，，解得,（舍去）； ，解得 ，（舍去），的图象的对称轴为直线 ， 的图象的对称轴是轴， 这两个函数图象对称轴之间的距离为2.故 选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 易错警示 根据的正负性分别列出方程，求出 的值，然后再求两函数图象的对称轴，进而 求对称轴之间的距离. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 4.【2024山东济南期中】二次函数 的图象如图，对 称轴为直线，若关于的一元二次方程 （为实数）在的范围内有解，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，关于的一元二次方程 的解 就是抛物线与直线 的交点的横坐标.由题 意可知，则,当时，，当 时，,当时，.由图象可知关于 的一元二次 方程（为实数）在的范围内有解，则直线 在直 线和直线之间（包括直线）， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 5.如图是一款抛物线形落地灯筒示意图，防滑螺母 为抛物线支 架的最高点，点距灯柱的水平距离为1.6米，点 距水平地 面的距离为2.5米，灯罩距灯柱 的水平距离为3.2米，灯柱 米，则灯罩 到水平地面的距离为( ) A A.1.5米 B.1米 C.1.2米 D.1.4米 【解析】由题意可得，点C为抛物线的最高点，即抛物线的顶点. 点C距灯柱 的水平距离为1.6米，灯罩D距灯柱的水平距离为3.2米， 点B和点D关于点C所 在的与平行的直线对称. 灯柱米， 灯罩D到水平地面的距离为1.5 米，故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 6.【2023安徽合肥期末】如图，一条抛物线（形状一定）与 轴相 交于，两点（点在点左侧），其顶点在线段 上移动.若点 ，的坐标分别为，，点的横坐标的最小值为 ， 则点 的横坐标的最大值为( ) B A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】设抛物线的对称轴为直线，，关于直线 对称， ， 抛物线形状一定， 抛物线开口大小不变， 由平移可知，当在A点时，的横坐标最小，此时， ，解得 ，，为定值.当在点B时，点 的横坐标最大，为 ，故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 7.【2024四川南充期末】规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数 的点为整点.对于题目：抛物线与轴分别交于, 两点 （点在点的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作 （包括边界），若区域内有6个整点，则 的取值范围是( ) C A. B. C.或 D.或 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 【解析】， 抛物 线的对称轴为直线，顶点为 抛物线与轴分别交于, 两点 （点在点的左侧），，， 在区域内的 轴上已有 ,,这3个整点， 在区域内的 轴的上方或下方还需要有3个整点. 令，则，，， 抛物线的顶点为 .当时，则，解得；当 时，则 ，解得，的取值范围是或 ，故 选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 8.定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为 “互异二次函数”.如图，在正方形中，点，点 ，则互异二次函 数的图象与正方形有交点时 的最大值和最小值分别是 ( ) D A.4， B.， C.4，0 D.， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 【解析】如图，由题意可得，互异二次函数 的图象的顶点在直线 上运动. 在正方形中，点，点， .从 图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛 物线与正方形有交点，先经过点A，最后经过点B，且在 运动的过程中，两次经过点A、点、点B和点C， 只需算出当函数图象经过点A 及点B时的值，即可求出的最大值及最小值.当互异二次函数 的图象经过点时，或；当互异二次函数 的 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 图象经过点 时， 或， 互异二次函数 的图象与正方形有交点时 的 最大值和最小值分别是， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 9. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则 的最小值为____. 【解析】 由题意，得 ， 当时， 有 最小值.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 10.【2024辽宁朝阳质检】已知二次函数.当 时，对 应的函数值随的增大而增大，且对应的图象与直线有公共点，则 的取 值范围为_____________. 【解析】 由二次函数 可知，函数图象开口向下，对称轴为直线 ，时，随的增大而增大，，即.当 时， ，解得或（舍去） 当 时，对应的 图象与直线有公共点，且, .综上， .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 思路分析 用,分别表示出,，再用勾股定理表示出的长，建立关于 的 函数关系式，利用二次函数的性质求出 的最小值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 11.【2023山东泰安期末】如图所示，二次函数 的图象的 对称轴是直线，且经过点.有下列结论：； ； ；；和 时函数值相等.其中正确的结论有 ________.（填序号） ②④⑤ （第11题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 【解析】 ① 抛物线开口向下， 抛物线与轴的交点在 轴正半轴， ， × ② 抛物线与轴有2个交点， √ ③ 抛物线的对称轴为直线，时，最大，即 ， × ④ 时，，1， ， ， √ ⑤ 抛物线的对称轴为直线，和 时函数值相等 √ 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 思路分析 先利用交点式得到抛物线解析式为，再利用配方法得到顶点 的 坐标为，再求得，则可根据勾股定理计算出 ；利用待定系数 法确定直线的解析式为，根据平移的性质可判断四边形 为平行 四边形，再利用待定系数法求出直线的解析式，得到 ，然后利用四边形 的周长为 进行计算即可 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 12.【2024山东烟台期中】如图，已知，为线段 上的一个动点，分别 以，为边在的同侧作菱形和菱形，点,, 在一条直线上， ,分别是对角线，的中点.当点在线段上移动时，点 , 之间的距离最短为_____.（结果保留根号） （第12题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 【解析】 连接，，如图. 菱形和菱形中， ， ，,分别是对角线, 的中点， ， ， ， ，即，当时，有最小值， 点 , 之间的距离最短为.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 13.【2023吉林长春双阳区质检】如图，抛物线与轴交于 点， 与轴交于，两点，，，连接，将线段向上平移落在 处， 且恰好经过这个抛物线的顶点，则四边形 的周长为_________. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 【解析】 抛物线与轴交于和， 抛物线解析 式为 ，即 ， 顶点的坐标为 . 当时，，则， .设直线 的解析式为.把，代入得 解得 直线的解析式为 线段向上平移得到 ， ，， 四边形为平行四边形.设直线 的解析式为 .把代入得，解得， 直线 的解析式为 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 .当时，，则，， 四边 形的周长为.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题（本大题共2小题，共35分） 14.为增加农民收入，助力乡村振兴.某驻村干部指导农 户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千 克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量 （千克）与销售单价（元/千克） 满足的 函数图象如图所示. （1）根据图象信息，求与 的函数关系式； 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 【解】当时，设.将， 代入，得 解得 当时， . 当时， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 （2）求五一期间销售草莓获得的最大利润. 【解】 设利润为元.根据题意，得当 时， 抛物线开口向 下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 时，.当 时， 随的增大而增大， 时， ， 五一期间销售草莓获得的最大利润为3 840元. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的 图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为 ，抛 物线经过，， 三点. 思路分析 （3）根据面积最大时，四边形 的面积最大，先设 点的坐标为，，表示出 ，即可得出 面积最大时点的坐标及面积的最大值，进而得到四边形 面积 的最大值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 （1）求抛物线的解析式； 【解】令，则，解得 ； 令，则，， . 设抛物线的解析式为 . 把，，三点坐标代入解析式，得解得 抛物线的解析式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 （2）直线与轴负半轴交于点，且，求证： ； 【证明】在和 中， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 （3）在（2）的条件下，若直线与抛物线的对称轴交于点，连接，点 在 第一象限内的抛物线上，求四边形的面积的最大值及此时点 的坐标. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 【解】如图，过点作轴于点 . ， 抛物线的对称 轴是直线， 点的横坐标是2， ， ， ，， .设点 的坐标为 .连接，，过点作 轴于点 ，交直线于点，过点作于点 ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 ， . ， ， . ， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当时， 面积的最大 值是，此时四边形的面积最大， 四边形 面积的最大值为 , 当点坐标是时，四边形面积的最大值是 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$