第22章 大招专题2 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（人教版）

第二十二章二次函数 大招专 题2 二次函数中的最值问题 刷难关 难关 母题学大招1 几何定理法求线段之和（差）最值 1.【2023天津红桥区期中，中】如图，已知抛物线过点， ，其对称轴 为直线 . 大招解读 几何定理法求线段之和（差）最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段（周长）之和最小问题：这类问题一般是将军饮马中“两定点，定线上 一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 关键点拨 （2）②当,B,A共线时, 的值最大. （1）求该抛物线的解析式. 【解】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为.设抛物线解析式为.把 代入， 得，解得， 此抛物线的解析式为 . （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 【解】 如图（1），点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象 限， 设，直线的解析式为，则 ，解 得， 直线的解析式为.设直线 与抛物线对称轴交于 点，则， ， ，解得或（舍去）， 点 的坐 标为 . ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】 设直线的解析式为.把，代入得 解 得 直线的解析式为 . 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 是抛物线上的动点， 联立 解得（舍去）， . 子题练变式 两点之间线段最短 2.【2024山东济宁期中，中】如图，抛物线与 轴 交于，两点，与轴交于点，，，连接和 . 思路分析 （2）设交对称轴于点，由抛物线的对称性可知 ,由 两点之间线段最短可知，此时有最小值，而 的长度是 定值，故此时的周长取得最小值，求出直线 的解析式，即可得到答案． （1）求抛物线的解析式. 【解】，，，.将， 代入 ，得解得 抛物线的解析式为 . （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标. 【解】 由可知，对称轴为直线 .由抛物线的 对称性可知，点与点关于对称轴对称.如图，设 交对称轴于 点,连接,则 .由两点之间线段最短可知，此 时最小，而的长度是定值，故此时 的周长取得 最小值.由可知，点的坐标为.设直线 的 解析式为，将点代入，得， 直线 的解析式为 ，当时，， 点的坐标为 . 母题学大招2 代数法求线段最值 3.【2024山西晋中期中，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧），与 轴 交于点，且点的坐标为 ． 大招解读 代数法求线段最值 二次函数图象中求平行于坐标轴的线段最值问题时，常用代数法： 设出动点坐标，利用坐标表示出线段长度，构造二次函数，利用二 次函数的性质求最值. （1）求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上，， ， 令，得，解得或， 点的坐标为 . （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】 由（1）知，.过作于点，过点 作 轴交于点 ，如图. ，，， 是等腰直角三角形， 轴，， 是 等腰直角三角形，， 当最大时， 最大.设直线 的解析式为，将代入得，， 直线 的 解析式为.设，则 ， . ， 当时，取得最大值,为 ， ， 点到直线距离的最大值为 . 子题练变式 4.【2024山东日照期中，中】如图，已知抛物线 是由抛物线 平移得到的，且与轴交于，两点， 为第四象限抛物线上一动点，连接 ，作轴于，设点横坐标为 . 结论证明 证明:如图, . 大招解读 铅锤法巧求面积最值 铅锤法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解 决的是斜三角形面积问题.具体公式为三角形面积 等于水平宽和铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽 指的是两个顶点之间的水平距离，而铅垂高是指 从一个顶点到对边的铅垂高度. （1）求， 两点坐标. 【解】 抛物线是由抛物线平移得到的，， 平 移之后抛物线为.令，则或3， 点 , 的坐标分别为, . （2）求 的最大值. 【解】 点的横坐标为,, 点， , ，即 的 最大值为 . 母题学大招3 铅锤法巧求面积最值 5.【2024河南洛阳期中，中】如图，抛物线 ,,为常数，经过点，， . （1）求抛物线的解析式. 【解】设.把 代入，得 ，解得 ， . （2）如图，连接,点在直线下方的抛物线上,求出的面积最大时点 的坐标. 【解】 如图，连接,,过点作轴于点，交 于点 .由,,易得直线的解析式为 .设 ，则 ， ，， 当时，最大，此时 . 子题练变式 6.【2024湖北荆门期中，较难】如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于, 两点 （点在点 左边）. 关键点拨 （2）先求出直线的解析式，易知取最大值时, 面积 最大,利用坐标将的长表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点 的坐标. （1）请直接写出,, 三点的坐标. 【解】,,.当时，，.当 时， ，解得，，， . （2）若点是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点 的坐标. 【解】 如图，过点作轴于点，交于点 ，则 ， ， 设直线的解析式为 ，把 ，代入，得解得 直线 的 解析式为.设，则 ， ， 当时，取最大值，即 的面积最 大， .