24.3 正多边形和圆-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（人教版）

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十四章圆 4 24.3 正多边形和圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正多边形的有关概念及计算 1.对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三 角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是 正多边形.正确的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆 内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 关键点拨 解决本题的关键是要掌握正多边形的概念，各边相等且各角也相等的多边形是正 多边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2024广东汕头校级质检】如图，点，，， 为一个正多边 形的部分顶点，点为正多边形的中心，若 ，则这个 正多边形的边数为( ) B A.5 B.10 C.12 D.20 【解析】如图，作正多边形的外接圆. ， ， 这个正多边形的边数为 ， 故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第3题图） 3.【2023四川成都期中】如图，正六边形内接于 ， 若的周长等于 ，则正六边形的边长为( ) C A. B. C.3 D. 【解析】连接， ，如图. 的周长等于 ，的半径. 六边形 是正六边形， ， 是等边三 角形， ，即正六边形的边长为3，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.【2023山东青岛质检】如图，正六边形内接于 ， 点在上，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】连接，，，如图. 六边形 是正六边形， ， ， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （第5题图） 5.【2024湖南衡阳期中】如图，用若干个全等的正五边形排成圆环 状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列， 共需要正五边形的个数是( ) D A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 【解析】 五边形的外角和为 ， 正五边形的每一个外角为 .如图， ， 完成这一圆环 排列，共需要正五边形的个数为 （个），故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 关键点拨 掌握正五边形外角和为 是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第6题图） 6.【2023黑龙江绥化模拟】如图，边长为 的正六边形内有两个三 角形（数据如图），则 ___. 5 【解析】 如图，点为正六边形的中心，则是边长为 的 等边三角形，连接，,作于 ，易知两个空白三角 形面积之和为， 阴影部分的面积是 ， .故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.【2023江苏常州模拟】如图，点为正六边形的中心，连接 ，若正 六边形的边长为2，则点到的距离 的长为___. 1 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【解析】 连接,,，如图. 点为正六边形 的 中心，正六边形的边长为2， ， ， ，， ，是等边三角形， ， ， ， ，即点到的距离 的长为1，故答案为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.如图，正方形内接于，为上的一点，连接， .当 点为的中点时，是的内接正边形的一边，求 的值. 【解】 如图，连接，, 正方形内接于， 点为的中点，， ， .故 的值为8. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 知识点2 正多边形的画法 9.已知：与上的一点 ,如图. 关键点拨 （1）在上依次截取六段弦，使它们都等于 ，从而得到正六边 形 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 （1）求作：的内接正六边形 ；（要求：尺规作图，不写作法但保留 作图痕迹） 【解】如图，正六边形 即为所求. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 （2）连接，，判断四边形 是否为矩形，并说明理由. 【解】 四边形为矩形.理由：连接，如图. 六边形 为正六边 形，， ， ,, 为直径， ，同理可得 ， 四边形 为矩 形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 提升 1.【2023河南郑州期中，中】如图，两张完全相同的正六边形纸 片（边长为 ）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张 正六边形纸片沿水平方向向左平移 个单位长度，则 上面正六边形纸片的面积（空白部分面积）与折线 扫过的面积（阴影部分面积）之比是( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意易知，正六边形的面积为 ，阴影部分的 面积为， 空白部分的面积与阴影部分的面积之比是 ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 2.【2024山东烟台期中，中】如图所示的电子装置中，红黑两枚跳棋开始都放置 在边长为4的正六边形的顶点 处.跳动规则：红跳棋按顺时针方向1秒跳 到下1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒跳到下1个顶点，经过2 022秒后都停止跳 动，此时两枚跳棋之间的距离是( ) B A.8 B. C.4 D.0 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】 红跳棋从A点按顺时针方向1秒跳到下1个顶点， 红 跳棋每过6秒返回到A点，， 经过2 022秒后， 红跳棋跳回到A点. 黑跳棋从A点按逆时针方向3秒跳到下1个顶 点， 黑跳棋每过18秒返回到A点，， 经过2 022秒后，黑跳棋跳到点.连接，过点作 ， 如图.由题意可得，， ， ， .在中， ， ， 经过2 022秒后，两枚跳棋之间的距离是 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 关键点拨 根据规律分别计算出红跳棋和黑跳棋经过2 022秒后的位置，红跳棋跳回到 点， 黑跳棋跳到 点，即可得出结论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （第3题图） 3. 【2023河北邯郸质检，中】如图，已知正六边形 的边长为2，在正六边形的边上距离 最远的点到 的距离为( ) B A.3 B.4 C. D. 【解析】如图，连接，交于点 .在正六边形的边上距离 最远的点是 六边形是正六边形， 易得 ，都是等边三角形， ， , ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 4.【2024江苏盐城校级质检，中】如图，正方形内接于，线段 在对 角线上运动，若的面积为 ，，则 周长的最小值是___. 4 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】 的面积为 ，则的半径为 ,则 .由正方形的性质知，点是点关于 的对称点. 过点作，且使，连接交于点，取 ， 连接,，则点,为所求点，理由： ，且 ，则四边形为平行四边形，则， 当 时, 的周长最小.根据题意易 知 ,则在中, ， 的周长的最小值为 ，故答案为4． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 5. 【2023江苏宿迁期中，中】如图，在正六边形中， ，点 在边上，且.若经过点的直线将正六边形的面积平分，求直线 被正 六边形所截的线段长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解】如图，设正六边形的中心为，过点，作直线 交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线 被正六边形 所截的线段长是，连接，，过点作于点 六边形是正六边形，，中心为 ， ， ， ，是等边三角形， . ， . ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 ， ， ， ， ，，即直线 被正六边形 所截的线段长是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 刷素养 走向重高 6.思想方法 数形结合［较难］ （1）已知：如图（1），是的内接正三角形，点为劣弧 上一动点. 求证： ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 【证明】延长至，使，连接 ，如图（1）. ，，， 四点共圆， ， 是正三角 形，， 是等边三角形， ， .又 ， ，为等边三角形， .在 和 中， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）已知：如图（2），四边形是的内接正方形，点为劣弧 上一动 点.求证： . 【解】 过点作交于，连接， ，如图（2）.∵ ∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ， ， . 在和 中， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 $$