22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（人教版）

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十二章二次函数 4 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数 的图象和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象 1.【2024陕西西安质检】二次函数 的图象大致是( ) A A. B. C. D. 【解析】 的图象是一条过原点，开口向上的抛物线，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2. 开放性试题【2023北京房山区期中】若二次函数 的图象开口向上， 则实数 的值可能是_________________________________（写出一个即可）. 5（答案不唯一，只要是正数即可） 【解析】 二次函数的图象开口向上，， .故答案为5 （答案不唯一，只要是正数即可）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.画函数 的图象. 【解】列表： 0 1 2 … 1 0 1 4 … 描点，连线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点2 二次函数 的性质 4.若二次函数的图象过点 ，则该图象必经过点( ) A A. B. C. D. 【解析】 二次函数图象的对称轴为轴， 若图象经过点 ，则 该图象必经过点 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.【2024山西吕梁质检】下列二次函数的图象中，开口向下并且开口最大的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 二次函数的图象开口向下， 二次项系数小于 ， 的图象开口更大.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.【2023山西汾阳期末】已知二次函数，当时，随 的增大而 增大，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】 二次函数的图象的对称轴为轴，当时，随 的增大 而增大， 二次函数的图象开口向上，，即 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 7.【2023山东临沂河东区质检】已知抛物线过， 两点，则下列关系式一定正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线的对称轴为轴，关于 轴对称的点 的坐标为.又,， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 8.已知二次函数，当时， . （1）当时，求 的值； 【解】 把,代入得,解得， 这个二次函数的 解析式为.当时， . （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当为何值时，随 的增大而增大. 【解】 ,, 函数图象开口向上，对称轴是轴，顶点坐标是 . 当时，随 的增大而增大. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 刷易错 易错点1 忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解 9.已知抛物线与的形状相同，则 ____. 【解析】 抛物线与的形状相同，， .故答案 为 . 易错警示 抛物线的形状与二次项系数的绝对值有关，二次项系数的正负性与抛物线的开口 方向有关. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 易错点2 忽略开口方向隐含的条件致错 10.若二次函数的图象开口向下，求 的值. 晓丽的解题过程如下： 解： 是二次函数， ， 解得或 . 请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确,请写出正确的解题过程. 【解】晓丽的解题过程不正确.正确的解题过程如下： 是二次 函数，，解得或 抛物线开口向下， ， 解得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 易错警示 本题利用二次函数的定义及性质求字母的值时，忽略了二次项系数的取值条件 ，导致错误.遇到类似的情况时，一定要注意题干中隐含的各类条件. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 提升 1.【2023湖北武汉校级质检，中】已知是二次函数，且当 时，随的增大而减小，则 的值为( ) B A.1 B. C.1或 D. 或2 【解析】是二次函数，解得 或 当时，随的增大而减小， 抛物线开口向下， ， ， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 2.【2024湖北恩施州期末，中】当时，函数 的图象与函数 的图象大致是( ) C A. B. C. D. 【解析】当时,根据得到 ，二次函数图象开口向上，一次函数图 象交轴于正半轴，且呈上升趋势，没有符合题意的选项；当 时，根据 得到，二次函数图象开口向下，一次函数图象交 轴于负半轴，且呈 下降趋势，C选项符合题意，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （第3题图） 3.【2023天津西青区期末，中】如图，正方形的顶点 在二 次函数的第一象限的图象上，若点 的横坐标与纵坐标之和 等于6，则对角线 的长为( ) C A.2 B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 思路分析 抛物线与几何的综合 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】设点B的横坐标为 点B的横坐标与纵坐标之和等于6， 点B的纵坐标为 点B在二次函数的第一象限的图象上，，解得 （不合题意，舍去），，， 点B的坐标为.如图，连接 ， 则. 四边形是正方形， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 4.［中］如图所示，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式是 ； ；；.则，，, 的大小关系为______________. （第4题图） 【解析】 因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为， ， ，，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 5. 开放性试题［中］在平面直角坐标系中，函数 的图象 与函数的图象组成图形.对于任意实数，过点且与 轴平 行的直线总与图形有公共点，写出一个满足条件的实数 的值为______________ ____（写出一个即可）. 1（答案不唯一） 【解析】 由解得或 函数 的图象与 函数 的图象的交点为 和,如图. 函数 的图象与函数 的图象组成图形，对于任意实数，过点且与 轴平行的直 线总与图形有公共点， ，故答案为1（答案不唯一）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 6.【2023浙江宁波期末，较难】已知的三个顶点为， ， ，将向右平移个单位长度后， 某一边的中点恰 好落在二次函数的图象上，则 的值为_________. 1或2或3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】 的三个顶点为，，， 平移前 边的中点为，边的中点为，边的中点为.将 向右 平移个单位长度后，边的中点平移后的坐标为， 边的 中点平移后的坐标为，边的中点平移后的坐标为 二 次函数的图象在轴的下方，点在轴的上方， 边的中点 不可能在二次函数的图象上.①当 边的中点恰好落在二次函数 的图象上时，把代入，得 ，解得 ；②当边的中点恰好落在二次函数 的图象上时，把 代入，得，解得， .综 上， 的值为1或2或3，故答案为1或2或3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 思路分析 首先求得三角形三边中点的坐标，再根据平移规律可得平移后，， 边的 中点坐标，然后分两种情况进行讨论：一是 边的中点在二次函数图象上，二是 边的中点在二次函数图象上，进而求出 的值． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 刷素养 走向重高 7.思想方法 分类讨论【2024湖南益阳期中，较难】在平面直角坐标系 中，直 线与轴交于点，与抛物线交于，两点 在的左边 . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 思路分析 （2）表示出，， 的长，利用勾股定理列方程并求解，因为直角顶点不 确定，所以需分类讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （1）求 点的坐标； 【解】令，得，点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）如图（1），若点关于轴的对称点为点，当以点，， 为顶点的三角 形是直角三角形时，求实数 的值； 【解】 联立直线与抛物线 得 ，或，， 点 关于轴的对称点为点， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 若 ，则，即 ， （负值已舍去）;若 ，则 ，即 ，（负值已舍去）;若 ，则 ，即 ，此方程无实数解. 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点，如 ，均为整点.如图（2），直线与抛物线 所围成的封闭图形 （即阴影部分，不包含边界）内的整点数恰好是26个，求 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解】 如图，直线与抛物线 所围成的封闭图形 （即阴影部分，不包含边界）内的整点只能落在 轴和 直线 上. ，，， 整点 数恰好是26个， 落在轴和直线 上的整点数应各 为13个.由落在轴的整点有13个得 ，即 .①若，则， 线段上的整点应该为 ， ， ，，,,；②若 ， 则，， 线段上的整点正好有13个.综上，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 $$