第21章 二次函数与反比例函数 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（沪科版）
2024-08-15
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教辅
内容正文：
数 学
九年级上册 HK
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第21章二次函数与反比例函数
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全章综合训练
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中考
考点1 二次函数的图象与性质
1.【2023广西中考】将抛物线 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，
得到的抛物线是( )
A
A. B. C. D.
【解析】将抛物线 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物
线是 .故选A.
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2.【2023四川南充中考】若点在抛物线 上，则下列各点在
抛物线 上的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】抛物线是由抛物线 向左平移1个单位得到的，则
平移后的对应点为， 点一定在抛物线
上，故选D.
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3.【2023浙江杭州中考】设二次函数（，， 是
实数），则( )
A
A.当时，函数的最小值为 B.当时，函数的最小值为
C.当时，函数的最小值为 D.当时，函数的最小值为
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【解析】令，则，, ，
， 二次函数的图象与 轴的交点坐标是
，， 二次函数的图象的对称轴是直线
.，有最小值，当时， 的值最小，
此时.当时，函数 的最小值为
；当时，函数的最小值为 .故选A.
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4.【2023福建中考】已知抛物线经过 ,
两点，若,分别位于抛物线对称轴的两侧，且,则 的取值范
围是____________.
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【解析】 由题意得抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口
向上.根据，,分别位于抛物线对称轴的两侧,可分以下两种情况：若点
在对称轴的左侧、点在对称轴的右侧，由题意可得 不
等式组无解.若点在对称轴的左侧、点 在对称轴的右侧，由题意可得
解得.综上，的取值范围为 .故
答案为 .
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关键点拨
分点在线段上和点在 的延长线上两种情况讨论，是求解此题的关键．
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思路分析
由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向上，分点在对称轴的左侧、点
在对称轴的右侧和点在对称轴的左侧、点 在对称轴的右侧两种情况求解即可.
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5. 【2023内蒙古赤峰中考】如图，抛物线与轴交于点 ，
，与轴交于点，点在抛物线上，点在直线上，若 ，
则点 的坐标是________________.
或
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图（1）
【解析】 在中，当时，;当 时，
,,所以,,.根据 点坐标，有
，所以点坐标为.设 所在直线表达
式为，其过点，，则 解得
所以所在直线的表达式为 .
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当点在线段上时，如图（1），设.因为 ，
而，所以，所以.因为 ，
，，所以 ，
解得，所以，所以点的坐标为.当在 的延长线上时，
在中，， ，
，所以，所以 .
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图（2）
如图（2）,延长至，取，连接,则有 为等腰
三角形，，所以.又因为 ，
所以，则为符合题意的点.因为 ，所
以 ，的横坐标为，纵坐标为 ，即
.综上,点的坐标为或 .
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6.【2023安徽中考】在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线
经过点，对称轴为直线 ．
思路分析
（ⅱ）分两种情况：①当时，②当 时，分别画出对应的函数图象，
利用梯形面积公式建立方程求解即可得出答案．
（1）求, 的值；
【解】依题意得解得
， .
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（2）已知点,在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作
轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点 ．
（ⅰ）当时，求与 的面积之和；
图（1）
【解】 设直线的表达式为 ，
，解得， 直线的表达式为 .由（1）
知抛物线的表达式为 .如图（1）所示，依题意
得,， ，
，
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当时，与 的面积之和为
.
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（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以,,, 为顶点的四边形的
面积为？若存在，请求出点的横坐标 的值；若不存在，请说明理由．
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【解】 存在点，使得以，，，为顶点的四边形的面积为.当点 在对称轴
右侧时，， .
图（2）
如图（2），当时， ，
， ，解
得 ；
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图（3）
如图（3），当时， ，
，
，
解得（舍去）或 （舍去）.
综上所述，点的横坐标的值为 ．
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考点2 二次函数与一元二次方程的关系
7.【2023河北中考】已知二次函数和（ 是常数）的
图象与 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个
函数图象对称轴之间的距离为( )
A
A.2 B. C.4 D.
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【解析】， 其图象与轴交于点 ，
， 其图象与轴交于点 ，
这四个交点中每相邻两点间的距离相等，为与 的中
点，，解得,（舍去）； ，解得
，（舍去），的图象的对称轴为直线 ，
的图象的对称轴是轴， 这两个函数图象对称轴之间的距离为2.故
选A.
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8.【2023四川泸州中考】已知二次函数（其中 是自变量），当
时对应的函数值均为正数，则 的取值范围为( )
D
A. B.或
C.或 D.或
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【解析】二次函数的图象的对称轴为直线 .当
时， 当时对应的函数值均为正数， 此时抛物线与 轴没有交
点，，；当时， 当 时对应
的函数值均为正数， 当时，，解得 ，
.综上所述，当时对应的函数值均为正数时， 的取值范
围为或 .故选D.
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关键点拨
弄清当时对应的函数值 均为正数的意义，然后分情况讨论是解题的关键．
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9.【2023四川巴中中考】规定：如果两个函数的图象关于 轴对称，那么称这两个
函数互为“函数”.例如：函数与互为“ 函数”.若函数
的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与
轴的交点坐标为____________.
或
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【解析】 当时，函数表达式为，它的“ 函数”表达式为
，它们的图象与轴都只有一个交点， 它的“函数”图象与 轴的交
点坐标为.当 时，此函数为二次函数，若二次函数
的图象与 轴只有一个交点，则
，解得， 二次函数的表达式为
， 它的“函数”表达式为 ，
令，则，, 此时它的“函数”图象与 轴的交点坐
标为.综上，它的“函数”图象与轴的交点坐标为或 .
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考点3 二次函数的应用
10.【2023天津中考】如图，要围一个矩形菜园 ,其中一边
是墙，且的长不能超过,其余的三边,, 用篱
笆，且这三边的和为 .有下列结论：
其中，正确结论的个数是( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
的长可以为;的长有两个不同的值满足菜园
面积为;③菜园面积的最大值为 .
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【解析】设的长为，矩形的面积为，则的长为 .
由题意得 ，其中
，即.的长不可以为 ，原说法错误；②当
时，解得或， 的长有两个不同的值
满足菜园面积为，原说法正确；③菜园 面积的最大值为
，原说法正确.综上，正确结论的个数是2，故选C.
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11. 【2023吉林长春中考】2023年5月28日， 商业首航完成——中国民
航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的
“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）.如图（1），在
一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似
看作形状相同的抛物线的一部分.如图（2），当两辆消防车喷水口， 的水平距
离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇.此时相遇点 距地面20米，喷水
口， 距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口
，到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 距地面____米.
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图（1）
图（2）
【解析】 由题意可知，， .设抛物线表达式为
，将代入表达式，解得 ，
.两辆消防车同时后退10米，则抛物线 向左平移后
的抛物线表达式为，令，解得 ，则此时两条水柱相
遇点 距地面19米.故答案为19.
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考点4 反比例函数的图象与性质
12.【2023安徽中考】已知反比例函数 在第一象限内的
图象与一次函数 的图象如图所示，则函数
的图象可能为( )
A
A. B. C. D.
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【解析】如图所示，由题意得， .根据图象可得
，将点代入，得 ，
，， ，
抛物线的对称轴为直线 ，故选
项B不符合题意. 当时，， 抛物线经过点 ,
故选项D不符合题意.当时， ，故选项C不符合题意.故选A．
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（第13题图）
13.【2023福建中考】如图，正方形四个顶点分别位于两个反比
例函数和的图象的四个分支上，则实数 的值为( )
A
A. B. C. D.3
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【解析】连接正方形的对角线，由正方形和反比例函数图象均是
中心对称图形可知对角线交于原点，过点A，B分别作 轴的垂线,
垂足分别为C,D，如图. 正方形中, ，
，
， ，
, 点A在第二象限，
，故选A.
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关键点拨
正确作出辅助线，证明出 是解题的关键．
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14. 开放性试题【2023山东日照中考】已知反比例函数
且的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的 值：__________________.
（答案不唯一）
【解析】 令，整理得 反比例函数
且的图象与一次函数 的图象两个交点横坐标为
，，.，，，, 满
足条件的值为（答案不唯一）.故答案为 （答案不唯一）.
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（第15题图）
15.【2023安徽中考】如图，是坐标原点， 的直角
顶点在轴的正半轴上，, ，反比例函数
的图象经过斜边的中点 ．
思路分析
（1）根据直角三角形的性质，求出,两点的坐标，进而求出点 的坐标，再利
用待定系数法求出函数表达式即可．
（2）求出直线,的函数表达式，再解方程组，求得点 的坐标，进一步得出
的值，即可得出答案．
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（1） ____；
【解析】 , ， ，
，,是 的中点，
反比例函数的图象经过斜边的中点， ，
反比例函数的表达式为.故答案为 .
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（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则 的值为___．
4
【解析】 设直线的函数表达式为.将， 代
入，得解得 直线 的表达式为
， 设直线的函数表达式为 .将点
代入并解得， 直线的函数表达式为 .根据题意，
联立解得或当 时，
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；当时，， ，故答案为4．
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考点5 反比例函数的应用
16. 跨学科综合【2023江苏扬州中考】某气球内充满了一定质量的气体，在
温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比例函数，且
当时，.当气球内的气体压强大于 时，气球将
爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于_____ .
0.6
【解析】 设气球内气体的压强与气球体积的函数关系式为. 当
时，，， .
气球内的气体压强大于时，气球将爆炸， ，解得
， 为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 .故答案为0.6.
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章测
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.抛物线经过平移得到抛物线 ，平移的方法是( )
A
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向上平移1个单位 D.向下平移1个单位
【解析】 抛物线的顶点坐标为 ，平移后抛物线
的顶点坐标为， 平移方法为向左平移1个单位.
故选A.
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2.【2024安徽合肥庐阳区校级期中】下列函数在第一象限中，的值随着 的值的
增大而减小的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】A选项，是二次函数，图象开口向上， 轴是对称轴，在第一
象限中，的值随着的值的增大而增大，不符合题意；B选项， 是反比例函
数，图象分布在第一、三象限，在第一象限中，的值随着 的值的增大而减小，
符合题意；C选项，是一次函数，，在第一象限中， 的值随着
的值的增大而增大，不符合题意；D选项， 是反比例函数，图象分布在第
二、四象限，不符合题意.故选B.
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（第3题图）
3.如图，点， 在二次函数
的图象上，则方程
的一个近似根可能是( )
D
A.2.18 B.2.68
C. D.2.45
【解析】 图象上有两点分别为 ，
， 当时，，当 时，
， 方程的一个近似根可能为 ，
故选D.
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（第4题图）
4. 【2023广西贺州期中】如图，已知抛物线 与
直线交于，两点，则关于 的不等式
的解集是( )
D
A.或 B.或
C. D.
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识图解题 二次函数与不等式的综合
与的图象关于 轴对称，抛物线
关于轴对称，如图所示，则， .
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【解析】与的图象关于轴对称， 直线
与抛物线的交点，与点A，B也关于轴对称. ，
，，.根据函数图象得不等式 的解
集是 ，故选D.
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（第5题图）
5.【2024安徽宣城宣州区校级质检】如图，点， 的坐标分别为
和，抛物线的顶点在线段 上运
动（抛物线随顶点一起平移），与轴交于，两点（在 的左
侧），点的横坐标最小值为，则点 的横坐标最大值为( )
B
A. B.1 C.5 D.8
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思路分析
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【解析】 抛物线过点时，与 轴的交点C的横坐标是
最小值，， 抛物线 过点
时，与轴的交点D的横坐标有最大值，， ，
， 点D的横坐标最大值是1.故选B.
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（第6题图）
6.【2024安徽亳州质检】如图，直线 与反比例函数
，的图象交于点，，直线 与反比例函数
，的图象交于，，其中常数， 均大于0，点
，分别是轴，轴上任意点，设和 的面积分
别为，，则下列结论：； ；
；；；， 均为定值.正确
的有( )
A
A.②④⑥ B.①②③ C.④⑥ D.⑤⑥
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【解析】设与轴的交点为，与轴的交点为 ，连接
，，，，如图. 直线与反比例函数 ，
的图象交于点A，B， 轴，
， ，
， .同理
证得， 是定值.故正确的有②④⑥.故选A.
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7.若一次函数与反比例函数 的图象在第二象限内有两个交点，且
其中一个交点的横坐标为，则二次函数 的图象可能是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 直线与反比例函数 的图象在第二象限内有一个交点，
其横坐标为，， 一次函数 与反比例
函数的图象在第二象限内有两个交点，， 二次函数
的图象开口向上. 当时，， 抛物线
过点 ，故选A.
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归纳总结
二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上，当 时，
抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与 同
号时（即，对称轴在轴左侧；当与异号时（即，对称轴在 轴
右侧；常数项决定抛物线与轴交点的位置：当时，与 轴交于正半轴；当
时，与 轴交于负半轴.
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8.如图，直线,都与直线垂直，垂足分别为, ，
，正方形的边长为，对角线在直线 上，
且点位于点处，将正方形沿向右平移，直到点
与点重合为止，记点平移的距离为，正方形 位
于直线,之间部分（阴影部分）的面积为，则关于
的函数图象大致为( )
B
A. B. C. D.
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【解析】正方形对角线.①当 时，如图（1）.设平移后
的正方形交直线于点，，则，为等腰直角三角形，故 ，
则 ，其图象为开口向上的抛物线.
图（1）
图（2）
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②当时，如图（2）.设平移后的正方形交直线于点，,交直线 于点
，，则，均为等腰直角三角形，则 ，
该函数图象为开口向下的抛物线.
③当时，同理可得 ，该函数图
象为开口向上的抛物线.故选B.
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二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
9.【2024安徽池州期末】若二次函数 有最小值，且图象经
过原点，则 ___.
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【解析】 二次函数 有最小值，且图象经过原点，
且， .故答案为3.
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易错警示
容易因忽略隐含条件 而出错.
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10.如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线形图案.
已知抛物线上，两点的高度相同，到墙边 的距
离分别为0.5米， 米.若该墙的长度为10米，则最
多可以连续绘制___个这样的抛物线形图案.
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【解析】 以点 为原点，建立如图所示坐标系.由
函数的图象知，点， 的纵坐标相同，其横坐标
分别为0.5和，故, 所在函数图象的对称轴为
直线.设第一个图案与 轴的
另一个交点为，则， 最多可以连续绘制5个这样的抛物线
形图案，故答案为5.
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11.已知抛物线与轴交于点，（点在轴正半轴上），且 .
关键点拨
（2）分和两种情况，分别求出不同情况下的长度与 的关系式
是解题的关键.
（1）此抛物线的顶点坐标为________；
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【解析】 令，则，解得或 点在 轴正半轴上，
，，，， 抛物线的表达式为
， 抛物线的顶点坐标为 ，故答
案为 .
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（2）若点为抛物线上一动点，作 轴，交一次函数
的图象于点，当时，的长度随 的增大而增大，
则 的取值范围是______.
【解析】 由（1）得 .一次函数
图象过点时， ，解
得 .此时一次函数与二次函数的图象的另一
个交点为.由，得 .当
时，如图（1），此时
， 上述函数图象
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的对称轴为直线
. 当时， 的长
度随的增大而增大，，解得.当 时，如图（2），此时
，当
时，易知不符合题意；当 时，此时该函数图象
的对称轴为直线. 当
时，的长度随的增大而增大，， ，不符合题意，
舍去，故答案为 .
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三、解答题（本大题共2小题，共45分）
12.如图，反比例函数的图象与直线 相
交于点，过直线上点作轴于点 ，交反比例函数图
象于点，且 ．
关键点拨
本题第（2）问为“将军饮马”模型.
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（1）求 的值.
【解】，轴，， ，
，.将点坐标代入反比例函数表达式得 .
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（2）在轴上确定一点，使点到，两点距离之和 最小，求点
的坐标．
【解】 ，.如图，作点关于轴的对称点 ，连接
交轴于点，此时最小.设直线 的表达式
为，则解得故的表达式为 .
当时，，故点的坐标为 ．
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13.【2023江苏连云港中考】如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
的顶点为.直线过点，且平行于 轴，与
抛物线交于，两点（在的右侧）.将抛物线沿直线翻折得到抛物线 ，
抛物线交轴于点，顶点为 .
备用图
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关键点拨
（2）理解对称,并对直角三角形的不同情况进行分析是解题的关键．
（1）当时，求点 的坐标；
【解】 ，
， 点和点关于直线对称， 点的坐标为 .
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（2）连接，，，若为直角三角形，求此时 所对应的函数表达式；
【解】 点与点关于直线对称，， 抛物线
.
当时，, .
①当 时，如图（1），过作轴于 .
， .
，, ，
.
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， .
直线轴， ， ， .
，， .
点在的图象上，， 或
.
当时，, ,
，，此时，点和点重合，舍去;当时， ,
,,,符合题意.将代入 得
, 此时所对应的函数表达式为 .
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图（1）
图（2）
②当 时，如图（2），过作轴于,过作交 的延
长线于.同理，，. ，
， 点 在
的图象上，，解得 或
.
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，，此时，符合题意.将 代入
得, 此时 所对应的函数表达式为
.
易知 的情况不存在.
综上所述，所对应的函数表达式为或 .
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（3）在（2）的条件下，若的面积为3，，两点分别在边， 上运动，
且，以为一边作正方形，连接，写出 长度的最小值，并简
要说明理由.
【解】 长度的最小值为 .理由如下：
由（2）知，当 时，易得，此时 的面积为
，不合题意，舍去;当 时，易得, ，
此时的面积为 ，符合题意.
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由题意得，，取的中点，连接, .
在中,，在中, .
当点在点左侧时，， 当，，三点共线，且点在点 左
侧时，取最小值，最小值为 .
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