21.4 课时2 拱形建筑问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（沪科版）

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第21章二次函数与反比例函数 4 21.4 二次函数的应用 课时2 拱形建筑问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用二次函数解决建筑（拱桥）问题 1.【2024安徽淮北质检】如图所示是一个横断面为抛物线形状 的拱桥，当水面宽，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 ， 则当水面宽为 时，水位上升了( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 【解析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的表达式为 .由题意得， 点，将点A的坐标代入抛物线表达式得，解得 ，故抛物线 的表达式为，当水面宽为，即 时， .故当水面宽为时，水位上升了 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 2.【2023安徽滁州质检】有一座抛物线形拱桥，桥 下面在正常水位时 宽20米，水位上升3米就达到 警戒线 ，这时水面宽度为10米. （1）在如图的坐标系中，求抛物线的表达式. 【解】由题可设抛物线表达式为.设，则.把， 的坐 标分别代入得解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 （2）若洪水到警戒线后，再过多少小时能到拱桥顶？（水位以每小时0.2米的速 度上升） 【解】 由（1）知， 拱桥顶到的距离为1米，（时）， 再 过5小时能到拱桥顶. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 知识点2 利用二次函数解决建筑（隧道）问题 3.【2024浙江湖州期中】如图，要修建一条截面为抛物线形状 的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求 ， 该抛物线的顶点到的距离为 . （1）请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； 【解】建立的平面直角坐标系如图所示（方法不唯一），由题 意得，顶点.设抛物线的函数表达式为 ， 将代入，得，解得， 抛物线的 函数表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 （2）现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点， 处分别安装照明灯），若要求，处的照明灯水平距离为 ，求照明灯的高度. 【解】 点，在同一高度，则点，关于对称轴对称，由题意得，点 和对称轴的距离为， 点的横坐标是2.5.当 时， ，即照明灯的高度为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 4.有一辆宽为 的货车（如图（1）），要通过一条抛物线形隧道 （如图（2））．为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直 高度至少为．已知隧道的跨度为，拱高为 ． 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 技巧总结 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系 能简化求解过程.因此，建立平面直角坐标系时，以方便求解为原则. （1）若隧道为单车道，货车高为 ，该货车能否安全通行？为什么？ 【解】货车能安全通行．理由如下：建立如图所示平面直角坐 标系. 设抛物线的函数表达式为.将 代入得 ，解得， 抛物线表达式为 , 当时，， 该货车能够安全通行． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 （2）若隧道为双车道，且两车道之间有 的隔离带，通过计算说明该货车能 够通行的最大安全高度． 【解】 时，， 货车能够通行的最大 安全高度为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 提升 1.【2023安徽六安金安区校级质检，较难】合肥老城西大门有一处城门横断面分 为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形 为正方 形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图（1）所示，现以 点为原 点，所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立直角坐标系. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 16 （1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围. 【解】由题意得抛物线顶点坐标为 .设抛物线表达式为 四边形为正方形，， 点 坐标为 .将代入得，解得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 17 （2）有一辆宽3米，高4.5米的货车需要通过该城门进入城区，请问该货车能否正 常进入？ 【解】 抛物线对称轴为直线 ，货车宽3米，当货车从门中间进入时，把 代入得 . ， 货车能正常进入. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 18 （3）由于城门年久失修，需要搭建一个矩形“巩固门” ，该“巩固门”关 于抛物线对称轴对称，如图（2）所示，其中，， 为三根承重钢支架，点 ,在抛物线上，， 在地面上，已知钢支架每米300元，问搭建这样一个矩形 “巩固门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？ 刷提升 返回目录 1 2 1 2