第2章 第4节 用因式分解法求解一元二次方程-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第二章 一元二次方程 4 4 用因式分解法求解一元二 次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.【2024山西临汾调研】下面是缘缘与芳芳两位同学解方程 的 过程： 缘缘： 两边同除以 得 ， 解得 . 芳芳： 移项，得 ， 提取公因式，得 ， 或 ， 解得， . 下列判断正确的是( ) 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 A.缘缘和芳芳都错 B.缘缘错，芳芳对 C.缘缘和芳芳都对 D.缘缘对，芳芳错 【解析】缘缘：根据等式的基本性质可知等式两边同时除以一个不为0的数，等式 仍成立.的值不确定是否等于0， 缘缘的解法错误.芳芳：提取公因式，得 ， 芳芳的解法错误.故选A. √ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.【2023广东佛山期中】设是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D.2 【解析】，，或，或 是方程的一个较大的根， ， ，或，解得或 是方程 的一个较小的根，， ，故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 3.【2024山东青岛市南区质检】三角形两边长分别为7和4，第三边的长是方程 的解，则这个三角形的周长是( ) D A.13 B.13或20 C.12 D.20 【解析】，，或 ，解得 ， 三角形两边长分别为7和4，， 不符合题意，舍 去， 这个三角形的周长为 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 4.【2024江苏淮安期末】方程 的解是_____________. 【解析】 ，，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 关键点拨 套用完全平方公式 把方程的左边因式分解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 5.【2023广东东莞校级期中】方程 的根为______________. , 【解析】 ， ， ，,，故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知是关于的一元二次方程 的一个解，则此方程 的另一个解为________. 【解析】 把代入方程得 ， ， 方程为，，, ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 7.用因式分解法解方程： （1） ； 【解】，， ，则 或，解得， . （2） . 【解】 ，， ，解得 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 知识点2 用合适的方法解一元二次方程 8.如果是方程 的一个根，则这个方程的另一个根为________. 【解析】 将代入方程，得，解得， 方程为 ，则 ，或，则这个方程的另一个根为.故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 9.关于的一元二次方程 的两根为_ _____________________. ， 【解析】 原方程整理可得，， ， ，，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 10.已知代数式与代数式的值互为相反数，则 的值为_________. 或0.5 【解析】 根据题意，得.整理，得 ，则 ，或，解得或 .故答案 为 或0.5． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 技巧点拨 当对方程进行因式分解后，可以通过多项式乘多项式来检查因式分解是否正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 11.选择合适的方法解方程： （1） ; 【解】，整理,得 ，即 .因式分解,得.于是得或 ， 解得， ． （2） ； 【解】 ,移项，得 .二次项系数化为1,得 .配方，得 ，即 .由此可得，解得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 （3） . 【解】 ,，， ， ，，即 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 刷易错 易错点 解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式导 致失根 12.王华同学解一元二次方程 的过程如下，请判断其解题过程 是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程. ，即，所以 . 【解】不正确.正确的解题过程如下： ，移项，得 .因式分解，得 或 ，解得, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 易错警示 方程两边都含有代数式，不能直接消掉.因为当，即 时，等号也 成立，故 也是一元二次方程的根.应移项后再选择合适的方法解一元二次方程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 提升 1.【2023河南商丘校级调研，中】若实数， 满足 ，则 的值为( ) B A.2 B.6 C.6或 D.6或2 【解析】设，原方程可化为 ，则 ，解得，.因为,所以 的值 为6．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 2. 【2023浙江温州鹿城区校级期中，中】《周髀算经》中有 一种几何方法可以用来解形如 的方程的正数解，方法： 如图，将四个长为，宽为 的长方形纸片（面积为16）拼成一个 大正方形，于是大正方形的面积为 ，边长为10， D A.， B.， C.， D.， 故得的正数解为．小明用此方法解关于 的方程 时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的 面积为4，则( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】，， 题图中长方形的长为 ，宽 为，面积为 题图中小正方形的边长为，大正方形的边长为， 题 图中长方形的宽为， 题图中长方形的长为， 题图 中长方形的面积为， ， 故选D． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 3.【2024浙江温州鹿城区期中，中】已知方程的根为 ， ，则方程 的根是_______________. ， 【解析】 方程的根为，， 在方程 中或，解得或 ， 故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 4. 【2024福建晋江调研，中】如果一元二次方程的两根相差1，那么称该方 程为“差1方程”，例如 是“差1方程”. 思路分析 （1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可. （2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解 关于 的一元一次方程即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （1）判断下列方程是不是“差1方程”（填“是”或“否”） ① ( ) ； 否 【解】，整理得，或 ，解得 ，， 不是“差1方程”，故答案为否. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 ② ( ) . 是 【解析】 ，整理得，或 ， 解得，， 是“差1方程”，故 答案为是. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求 的值. 【解】 ，整理得， 或 ，解得,（ 是常数）是 “差1方程”，或，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 5.［较难］阅读下面的例题，解决问题. 例：解方程 . 解：①当时，原方程化为，解得或 （不合题意， 舍去）； ②当时，原方程化为，解得或 （不合题意，舍 去）. 原方程的根是， . 请参照例题解方程： . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 【解】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 刷素养 走向重高 6.核心素养 运算能力【2024河南南阳调研，较难】小明在解一元二次方程时，发 现有这样一种解法.如：解方程 . 解：原方程可变形，得 ， . 解得， . 我们称小明这种解法为“平均数法”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （1）下面是小明用“平均数法”解方程 时写的解题过程. 解：原方程可变形，得 ， .解得, 上述过程中的，，， 表示的数分别为___，___，____，_____. 7 2 【解】， ， ，，或，解得 ， ，，，表示的数分别为7，2，，.故答案为7，2， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 （2）请用“平均数法”解方程： . 【解】 ， ， ，，或 ，解得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 $$