第2章 第3节 课时1 用公式法求解一元二次方程-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第二章 一元二次方程 4 3 用公式法求解一元二次方程 课时1 用公式法求解一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程的求根公式 1.用公式法解方程 时，正确代入求根公式的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，，， ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 易错警示 注意本题中的为，为 ，不要忽略负号. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.【2024山东济南期末】以 为根的一元二次方程可能是( ) A A. B. C. D. 【解析】 A 此方程的根为 ，符合题意 B 此方程的根为 ，不符合题意 C 当时，此方程的根为 ，不符合题意 D 当时，此方程的根为 ，不符合题意 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点2 用公式法解一元二次方程 3.用求根公式解得某方程 的两个根互为相反数，则( ) A A. B. C. D. 【解析】 方程有两个根，且 . 用求根公式得到方程的根为. 两根互为相反数， ， 即，解得 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.【2024福建三明调研】利用公式法可得一元二次方程 的两解 为，，且，则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】中，，， ， ，. 一元二次方 程的两解为，，且，的值为 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 刷有所得 用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，进而确定，， 的值（注意符号）；②求出的值（若 ，则方程无实数根）；③ 在的前提下，把，， 的值代入公式进行计算，求出方程的根 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 5. 【2024江苏盐城期中】定义新运算“*”，规则： 如 ，*，若的两根为,，则 _ _____. 【解析】 ，,, ， ，， 方程的两 根为，.,，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 6.解方程: （1） ； 【解】，，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ，， . （2） . 【解】 整理，得，，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 知识点3 根的判别式 7.关于的一元二次方程 的根的情况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数由 的值确定 【解析】， 方程有 两个不相等的实数根.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 8.【2023广东广州中考】已知关于的方程 有两个实 数根，则 的化简结果是( ) A A. B.1 C. D. 【解析】 关于的方程有两个实数根， 判别式 ，整理得， ， ，， .故 选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 刷有所得 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 9. 开放性试题已知关于的方程 有两个不相等的实数根， 写出一个满足条件的实数 的值为_________________. （答案不唯一） 【解析】 方程有两个不相等的实数根， ，且，解得且 .故答案 为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 10.已知关于的一元二次方程 . 【解】原方程整理得 ， （1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ 【解】 当时，方程有两个不相等的实数根，即，解得 . （2）当 为何值时，方程有两个相等的实数根？ 【解】 当时，方程有两个相等的实数根，即，解得 . （3）当 为何值时，方程无实数根？ 【解】 当时，方程没有实数根，即，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 提升 1.【2023河北石家庄桥西区期中，中】探讨关于 的一元二次方程 总有实数根的条件，三名同学给出结论：甲：， 同号；乙： ；丙： ．下列说法正确的是( ) B A.甲、乙、丙都正确 B.只有甲不正确 C.甲、乙、丙都不正确 D.只有乙正确 【解析】，.若,同号，令， ， 此时，方程没有实数解， 甲错误；若 ，即 ，，方程总有实数根， 乙正确；若 ，即， ，方程总有 实数根， 丙正确，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 2.【2024河北石家庄期中，中】小刚在解关于的方程 时，将其抄成了，得到一个解是 ，则原方程的根的情况 是( ) B A.不存在实数根 B.有两个实数根 C.有一个根是 D.不确定 【解析】把代入得， .把 代入方程 得 ， 方程 有两个实数根.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 思路引导 一元二次方程中看错问题 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 3.［中］如果关于的方程有正整数解，且关于 的方程 有两个不相等的实数根，若的值为整数，则符合条件的 的值 有( ) A A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】去分母得，整理得 关于 的分 式方程有解，，即，.为正整数， 为整数， 或，即，， 关于 的方程 有两个不相等的实数根，解得且 . 综上，符合条件的 的值有0个.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 思路分析 本题中 的值需满足三点，一是使得一元二次方程有两个不相等的实数根，二是 使得分式方程有正整数解，三是 为整数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 4.【2024重庆江北区期末，中】已知实数,满足 ，设 ，则 的最大值为___. 5 【解析】 ，， 将两个等式相加得 ，则，要求的最大值，只需求出 的最大值.将 看成关于的一元二次方程，整理得 方程有实数解，，，即的最大值为4， 当时， 的最大值为5.故答案为5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 5.【2023辽宁东港校级调研，中】已知整数满足，如果关于 的一元 二次方程有有理数根，则 的值为__________. 2或6或12 【解析】 ,, ， 方 程有根，.， 一元二次方程有有理数根，为有理数，，则 或9或16 或25或36或为整数， 或6或12.故答案为2或6或12. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 思路分析 先求出，再根据的取值范围及方程有有理数根得到 的取值， 进而得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 6.［中］已知关于的方程 . 易错警示 当给出的方程没有说明为一元二次方程时，注意讨论二次项系数是否为0. （1）求证：不论 取什么实数值，这个方程总有实数根. 【证明】当时，方程为一元一次方程，必有实数根.当 时，方程为一元 二次方程，， 一元二次方程有两个实数根．综 上，不论 取什么实数值，这个方程总有实数根. （2）当为何整数时，关于的方程 有两个整数根？ 【解】 方程有两个整数根， 方程为一元二次方程，即 .解，得或.又为整数，且 也为 整数，或， 或2． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 7.【2023安徽合肥校级期中，中】已知关于 的一元二次方程 . （1）若是方程的一个根，求 的值； 【解】是方程的一个根， ，整理得 ， 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 （2）以这个方程的两个实数根作为中，的长，当 时，是直角三角形，求此时 的值． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 【解】 ， ， ， . ，的长是这个方程的两个实数根， ， ， ，是直角三角形， 当 为斜边时，有 ，解得（不符合题意，舍去）， ； 当为斜边时，有，解得．综上所述， 的值 为0或1. 关键点拨 利用求根公式得到，，从而得出和 的长， 在没有明确斜边的情况下，分为斜边和 为斜边两种情况进行讨论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 刷素养 走向重高 8.核心素养 运算能力【2024江西南昌期中，较难】对于任意一个三位数，如果 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个 位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”.例如： ，因为 ，所以169是“喜鹊数”. （1）已知一个“喜鹊数”，， ， 且，，为整数，请直接写出，， 所满足的关系式：_____________；241 ______“喜鹊数”（填“是”或“不是”）. 不是 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 【解析】 是“喜鹊数”，， ， 且,,为整数，，即， ， ，不是“喜鹊数”.故答案为 ,不是. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （2）利用（1）中“喜鹊数”中的，， 构造两个一元二次方程 与，若是方程①的一个根， 是 方程②的一个根，求与 满足的关系式. 【解】是一元二次方程的一个根， 是一元二次方程 的一个根，， .将 两边同除以得， 将， 看成是一元二 次方程的两个根.， 方程 有两 个相等的实数根，，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （3）在（2）的条件下，若，请直接写出满足条件的所有 的值. 【解】 ，，，， ， ，，解得， 满足条件的所有 的值 为121，242，363，484. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 $$