第1章 第2节 课时3 矩形的性质与判定的综合应用-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第一章 特殊平行四边形 4 2 矩形的性质与判定 课时3 矩形的性质与判定的综合应用 5 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 提升 （第1题图） 1.【2023上海校级期末，中】如图，在 中， ，，，为边上一动点， 于，于，为的中点，则 的最小值为( ) D A.5 B.2.5 C.4.8 D.2.4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】连接 ，如图所示. ，，， ， ， 四边形是矩形，，，三点共线，，与 互 相平分，为的中点，.当时，最小，此时 也最 小，，的最小值为， 当 最小时， ．故选D． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （第2题图） 2.【2024山东济南历下区质检，中】如图，在四边形 中，，，，，，点 是 的中点，则 的长为( ) C A.2 B. C. D.3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解析】 . 延长，在的延长线上截取，连接，过点C作，交 延 长线于点，如图.，，， ， 四边形是矩形，，， . 在中，. 点是 的中点， ，是的中位线， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 另解 如图，过点作，交的延长线于点 ，根据题意可判定 四边形是矩形，则有， ，再由勾 股定理求得，，从而可得出 是等腰三角形， 则有 ，利用三角形的等面积法可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 （第3题图） 3.【2024福建福州期中，中】如图，在四边形 中， ， ，，，过 作 于，则 的长是___. 6 添加辅助线 注意到条件中的 ,则考虑过 作 于，构造矩形，得 ，再由直角转化 角,用含 角的直角三角形的性质求得 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 【解析】 . 如图，过作于，则 ， ， 四边形 是矩形， .在中， ， .又 ， ， ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 4.【2023江苏扬州邗江区期中，中】如图，已知矩形，， ， 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接， .当 ___________时， . 或 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 【解析】 当时，点在 的垂直平分线上.分两种情况讨论： ①如图（1），当点在右侧时，取的中点，连接交于，连接 . ，， 四边形是矩形，， 垂 直平分，，是等边三角形， ， 旋转 角 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 ②如图（2），当点在左侧时，同理可得 ， 旋转角 ．故答案为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 当时，点在的垂直平分线上，分两种情况讨论：点在右侧和点 在 左侧. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 5.【2024湖北荆州质检，中】如图，在中，是 上一点，，平分交于点， 平分 交于点， . （1）求证：四边形 是矩形； 【证明】平分，平分， ， ， ，即 ，， . 又 ， 四边形 是矩形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 （2）连接，若 ，，求 的长. 【解】由（1）可知，四边形是矩形， ， ，平分 ， ，是等边三角形， ， ， ， . ， ， ， 易得.在 中，由勾股定理得 ，即的长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 刷素养 走向重高 6.核心素养 几何直观［较难］如图，矩形中，， ， ，是对角线上的两个动点，分别从， 同时出发，相向而行，速度均为 ，运动时间为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 技巧点拨 动点问题可以在草稿纸上画出动点运动到不同位置时的图形以理解运动变化，还 可以直接画出运动到题目所要求的位置时的图形以方便求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （1）若，分别是，的中点，且，求证：以，，， 为顶点的 四边形始终是平行四边形. 【证明】 四边形是矩形，，，， ， ，， . ，分别是，的中点，，，, 是对 角线上的两个动点，分别从，同时出发，