专题7.5 正态分布（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.5 正态分布 【基础知识】 1 【考点1：正态曲线的性质】 2 【考点2：正态分布的概率】 3 【考点3：正态分布的实际应用】 4 【基础知识】 【知识点：正态分布】 1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定： 2．正态分布 定义及 表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2) 三个常 用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4 [方法技巧] 利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断． 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0); (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．　　 　[方法技巧] 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x＝μ. (2)标准差σ. (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．　 【考点1：正态曲线的性质】 【知识点：正态曲线的性质】 1．（2024高二下·全国·专题练习）已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·河北·二模）已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高二下·全国·专题练习）设随机变量．若，则（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二下·全国·课后作业）已知随机变量，则（    ） 注：若，则. A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量()，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2024·全国·模拟预测）设随机变量，则（    ） A．正态曲线关于对称 B．正态曲线随着的变化而上下波动 C．设随机变量，则 D．正态曲线与轴之间的面积为1 【考点2：正态分布的概率】 【知识点：正态分布的概率】 1．（2024高二下·安徽宿州·阶段练习）设随机变量服从正态分布且，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.9 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 3．（2024高二下·江西吉安·阶段练习）已知随机变量，则（    ） 注：若，则. A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.06795 4．（23-24高二下·山西运城·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 5．（2024高二下·全国·课后作业）已知随机变量，则（    ） 注：若，则. A． B． C． D． 6．（多选）（2024高三下·山东菏泽·阶段练习）若，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河北·期中）已知随机变量，若，则 . 8．（23-24高二下·上海·期中）已知随机变量，且，则 ． 【考点3：正态分布的实际应用】 【知识点：正态分布的实际应用】 1．（2024高二下·陕西咸阳·阶段练习）某区高三年级1000名学生参加了区统一考试，考试成绩X服从正态分布.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．100 B．200 C．400 D．800 2．（2