专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 不含参一元二次不等式的解法】 3 【题型2 含参一元二次不等式的解法】 3 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 4 【题型4 其他不等式的解法】 4 【题型5 一元二次不等式根的分布问题】 5 【题型6 二次函数的单调性、最值问题】 6 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 6 【题型8 一元二次不等式有解问题】 7 1、二次函数与一元二次方程、不等式 考点要求 真题统计 考情分析 (1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式 (2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式 (3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法 2020年I卷：第1题，5分 2023年新高考I卷：第1题，5分 一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐. 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 【方法技巧与总结】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 【题型1 不含参一元二次不等式的解法】 【例1】（2023·广东珠海·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【题型2 含参一元二次不等式的解法】 【例2】（23-24高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-3】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式的解集为，则下列选项正确的为（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要