第18讲 二次根式（3大考点+10种题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

第18讲 二次根式 1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件； 2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算； 3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法． 一．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 二．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 三．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． （a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型一：二次根式的识别 二次根式的识别方法:判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征:(1)含根号且根指数为2(通常省略不写);(2)被开方数(式)为非负数. 1．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 题型二：二次根式在生活中的应用 利用方程思想以及平方根的性质进行运算，在运算时既要考虑所列式子中字母的数学意义，又要注意所表示的量的实际意义 3．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）阅读材料： 我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=．①（其中为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长）．而古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，为半周长，即）． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”． 解答问题： (1)若在中，已知，试分别运用公式①和公式②计算的面积； (2)请你写出由公式①推导出公式②的过程； (3)计算（1）中的BC边上的高． 4．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 5．（23-24八年级下·广西玉林·期中）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法； (3)求中边上的高与边上的高的积． 题型三：利用二次根式有意义的条件确定字母的取值范围 求式子有意义时字母的取值范围的方法:第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数;对于含有多个二次根式的式子，则必须满足多个被开方