微专题03 极化恒等式解决平面向量的数量积问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题03极化恒等式解决平面向量的数量积问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1求向量数量积的定值 题型2求向量数量积的最值范围 （一）两向量共同的起点为动点 （二）两向量终点均为动点 （三）两向量的起点和终点均为动点 题型3与向量数量积有关的问题 一、极化恒等式 平面向量中， ，① ，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义． 几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． 几何解释2（三角形模型）若在中,点为中点,如图1所示, 则, 即. 图1 这是极化恒等式的另一种表示形式.该式将两个向量的数量积用两条线段的平方表示出来.在解题时,我们可以通过构造三角形的中线,求中线和第三条边的长,来求三角形两邻边的方向向量的数量积. 记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 注：解答平面向量数量积问题的常用方法有两种:基底法和坐标法.用坐标法解题需建立适当的直角坐标系;用基底法解题,需找到一组便于表示其他向量和进行运算的基底.这两种方法的解题过程均较为复杂.若能作出三角形的中线,即可运用极化恒等式,将问题巧妙地转化为三角形中线的平方差问题,这样不仅能简化运算,还能提升解题的效率. 二、极化恒等式中的转化思想 1、化动为定，破不定之惑 一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村． 已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（）． A．B．C．D． 【解析】如图所示，在上，不妨取的中点，则． 设圆的半径为，而，则： ． 因此的取值范围是． 2、化动为静，破多动点之惑 极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解． 3、化曲为直，破最值之惑 极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解． 【解析】在中，，若点A、B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，的最大值是_____________． 如图所示，不妨取的中点为M，的中点为N，则由极化恒等式可得，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于，答案为18． 4、化普通为特殊，破极限之惑 平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立． 在锐角中，已知，则的取值范围是____________． 解析： 1. 如图，取的中点M，可得，应长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为，此时； 过点C作，垂足为C，此时，， 因此，故取值范围是． 三、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 四、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或