解析几何有“三定”，“移植思维”建奇功 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第23题 解析几何有“三定”，“移植思维”建奇功 （2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第20题） 已知椭圆：，、、、这4点中恰有3点在椭圆上． （1）求的方程； （2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率之和为－1，求证：过定点． 本例第（1）小题较为传统，通过构建a，b，c的方程组，确定椭圆方程．第（2）小题是解析几何解答题中的定点问题，定总是与动相伴相生，是动中产生的静、变中得到的定，其基本思路是通过确定直线l的方程，证明直线过定点，而求直线l方程的方法较为灵活，其中思路一是：设直线与（1）中所得椭圆：消元后得到根与系数关系，运用斜率公式构造关于、的关系式得出定点坐标．在解题中要注意斜率不存在的情况． （1）由于、两点关于轴对称，故由题设知经过、两点，又由知，不经过点，∴点在上． 因此解得故的方程为． （2） 设直线与直线的斜率分别为，． 如果与轴垂直，设：，由题设知，且， 可得、的坐标分别为、， 则，得，不符合题设． 从而可设：，将代入得，由题设可知， 设、，则，． 而． 由题设，故． 即，解得． 当且又当时，，于是：，即． ∴过定点． （2024高三·全国·专题练习） 1．已知椭圆的长轴长为4，一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线交于两点，使得，求证：直线恒过一定点． 本例第（1）小题较为传统，通过构建a，b，c的方程组，确定椭圆方程．第（2）小题是解析几何解答题中的定点问题，定总是与动相伴相生，是动中产生的静、变中得到的定，其基本思路是通过确定直线l的方程，证明直线过定点，而求直线l方程的方法较为灵活，其中思路二是：为了避免分类讨论，设直线方程为，与（1）中所得椭圆：消元后得到根与系数关系，运用斜率公式构造关于n、的关系式得出定点坐标，这样可减少运算． （1）由于、两点关于轴对称，故由题设知经过、两点，又由知，不经过点，∴点在上． 因此解得故的方程为． （2） 设直线的方程为，、． 联立方程可得． ∵直线与椭圆交于，两点，∴，① 由韦达定理可知，，② ∵，③ 即．④ 将②式代入④式化简得，即． 即或（舍去，此时直线过点）．⑤ 将⑤式代入①式可得：， ∴直线的方程为，即直线恒过定点． （2024高三下·全国·专题练习） 2．已知抛物线的焦点F是椭圆的右焦点，抛物线C与椭圆E在第一象限的交点P的横坐标为，． (1)求抛物线C与椭圆E的标准方程； (2)若，分别是椭圆E的左、右顶点，M，N是椭圆E上不同于，的两点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线MN过定点． 本例第（1）小题较为传统，通过构建a，b，c的方程组，确定椭圆方程．第（2）小题是解析几何解答题中的定点问题，定总是与动相伴相生，是动中产生的静、变中得到的定，其基本思路是通过确定直线l的方程，证明直线过定点，而求直线l方程的方法较为灵活，其中思路三是：由于坐标已知，设设直线的方程为，直线的方程为，其中．与椭圆：，求出、坐标得到直线方程并写成点斜式，定点显露． （1）由于、两点关于轴对称，故由题设知经过、两点，又由知，不经过点，∴点在上． 因此解得故的方程为． （2） 设直线的方程为，直线的方程为，其中． 由得，解得或． ∴，同理得． ∵，是不同的两点，∴，从而． ∴． 即直线的斜率为． 直线的方程为． 即，． ，又， ∴直线表示过点且斜率为负值的直线，即直线过定点． 3．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 本例第（1）小题较为传统，通过构建a，b，c的方程组，确定椭圆方程．第（2）小题是解析几何解答题中的定点问题，定总是与动相伴相生，是动中产生的静、变中得到的定，其基本思路是通过确定直线l的方程，证明直线过定点，而求直线l方程的方法较为灵活，其中思路四是：利用过四条直线交点的二次曲线系方程求解．解题程式化，使难度、运算量明显降低和减少． 设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，过点的椭圆的切线为直线．写出经过这4条直线交点的二次曲线系方程，通过确定方程中的参数确定直线方程，证明其过定点． （1）由于、两点关于轴对称，故由题设知经过、两点，又由知，不经过点，∴点在上． 因此解得故的方程为． （2） 设直线的方程为，直线的方程为， 直线的方程为，过点的椭圆的切线为直线． 则经过这4条直线交点的二次曲线系方程为 ， 展开可得 ． ∵椭圆过这些交点，比较系数可得 解得∴直线：． 即直线恒过定点． 本例第（1）小题较为传统，通过构建a，b，c的方程组，确定椭圆方程．第（2）小题是解析几何解答题中的定点问题，定总是与动相伴相生，是动中产生的静、变中得到的定，其基本思路是通过确定直线l的方程，证明直线过定点，而求直线l方