代数几何比翼齐飞，动静互变化难为易 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解

第22题 代数几何比翼齐飞，动静互变化难为易 已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为． （1）求证：； （2）设为椭圆的右焦点，为椭圆上的一点，且，求证：，，成等差数列，并求该数列的公差． 对于第（1）小题，利用直线的斜率、直线与椭圆的位置关系及中点，得到一个关于，的关系式，要得到这个关系式的方法有四种思路，比如点差法、方程组结合韦达定理法、对称椭圆法，利用直线的参数方程等，然后根据的取值范围即可求解，各种解法都是在数形结合的过程中进行；对于第（2）小题，利用题中的向量关系，表示出点的坐标及各线段的长度即可证明，也可利用焦半径公式或三角形重心的性质来证明． 对于第（1）小题，第一种思路是：运用设而不求、点差法，抓住点在椭圆内部解不等式得的取值范围. （1）（点差法）设，，则，，两式相减，并由得． 由题设知，，于是． 点在椭圆内部，可得，解得，故． （2023高三·全国·专题练习） 1．已知椭圆C：，若椭圆C上有不同的两点关于直线对称，则实数m的取值范围是 . 对于第（1）小题，利用直线的斜率、直线与椭圆的位置关系及中点，得到一个关于，的关系式，要得到这个关系式的方法有四种思路，比如点差法、方程组结合韦达定理法、对称椭圆法，利用直线的参数方程等，然后根据的取值范围即可求解，各种解法都是在数形结合的过程中进行；对于第（2）小题，利用题中的向量关系，表示出点的坐标及各线段的长度即可证明，也可利用焦半径公式或三角形重心的性质来证明． 对于第（1）小题，思路二是：联立直线方程和椭圆方程，消元运用韦达定理代入求得的取值范围，达到证明目的. （1） （韦达定理法）设的方程为，与椭圆联立，得． 设，，则由，∴，① ．② 则，∴，∵，∴或． 由①②得，∴，∵，∴． （23-24高三下·重庆·阶段练习） 2．已知，动点满足与的斜率之积为定值. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 对于第（1）小题，利用直线的斜率、直线与椭圆的位置关系及中点，得到一个关于，的关系式，要得到这个关系式的方法有四种思路，比如点差法、方程组结合韦达定理法、对称椭圆法，利用直线的参数方程等，然后根据的取值范围即可求解，各种解法都是在数形结合的过程中进行；对于第（2）小题，利用题中的向量关系，表示出点的坐标及各线段的长度即可证明，也可利用焦半径公式或三角形重心的性质来证明． 对于第（1）小题，思路三是：运用对称椭圆，以形助数、简捷获证. （1） （对称椭圆法）对原椭圆作关于对称的椭圆为，两椭圆方程相减可得，即为公共弦所在的直线方程，故． 又点在椭圆内部可得，可得． ∴． 对于第（1）小题，利用直线的斜率、直线与椭圆的位置关系及中点，得到一个关于，的关系式，要得到这个关系式的方法有四种思路，比如点差法、方程组结合韦达定理法、对称椭圆法，利用直线的参数方程等，然后根据的取值范围即可求解，各种解法都是在数形结合的过程中进行；对于第（2）小题，利用题中的向量关系，表示出点的坐标及各线段的长度即可证明，也可利用焦半径公式或三角形重心的性质来证明． 对于第（1）小题，思路四是：利用直线参数方程中参数的几何意义求得斜率与的关系式，由点在椭圆内得到关于的不等式，把上述关系式代入得关于的不等式解之即可. （1）（利用直线参数方程中参数的几何意义） 设的参数方程为（为的倾斜角，为参数）． 代入椭圆中得． 设、是点、对应的参数，是线段中点， 知得，． 点在椭圆内，可得，∴，． （2024高三·全国·专题练习） 3．如图，已知椭圆：，直线：与圆：相切且与椭圆交于A，B两点．    (1)若线段AB中点的横坐标为，求m的值； (2)过原点O作的平行线交椭圆于C，D两点，设，求的最小值． 对于第（1）小题，利用直线的斜率、直线与椭圆的位置关系及中点，得到一个关于，的关系式，要得到这个关系式的方法有四种思路，比如点差法、方程组结合韦达定理法、对称椭圆法，利用直线的参数方程等，然后根据的取值范围即可求解，各种解法都是在数形结合的过程中进行；对于第（2）小题，有三种思路，其中思路一是：利用几何关系求几何量验证、、的关系是否符合等差数列定义，根据等差数列定义结合（1）的证法一所得，求出公差. （1）同上 （2）（利用几何关系求几何量）由题意得，设，则由得， 由（1）的证法一及题设得，， 又点在上，∴，从而，． 于是， 同理，． ∴． 故，即，，成等差数列．设该数列的公差为， 则．① 将代入（1）的证法一所得的中，得． ∴直线的方程为，代入椭圆的方程，并整理得 ，故，，代入①式解得． ∴该数列的公差为或． （2024·陕西西安·模拟预测） 4．已知双曲线的左､右焦点分